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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:14 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Jetzt noch leicht anspruchsvollere Aufgaben:
Jeder Punkt im Raum wird entweder rot, grün oder blau gefärbt. Die Mengen R, G, B bestehen aus den Längen aller Strecken, deren Endpunkte jeweils rot, grün oder blau sind. Zeige, dass mindestends eine dieser Mengen alle nichtnegativen reellen Zahlen beinhaltet
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo,
Ich hatte ausversehen in der Aufgabe geschrieben, dass alle Punkte in der Ebene gefärbt würden, allerdings sind alle Punkte im Raum gemeint!
Ich hoffe es hat sich keiner bisher zu viel mühe mit dieser Aufgabe gemacht.
Gruß Samuel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Fr 25.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Zusammen
Ich mache einen Widerspruchsbeweis. Nehmen wir an, dass es drei Zahlen
[mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] gibt so, dass [mm] $x_1\not\in \mathcal [/mm] R$, [mm] $x_2\not\in\mathcal [/mm] G$ und [mm] $x_3\not\in \mathcal [/mm] B$. Und nehmen wir oBdA, dass [mm] $x_1\geq x_2 \geq x_3$ [/mm] ist.
Sei P ein roter Punkt, (falls es keinen roten Punkt gibt, so nehmen wir irgend einen Punkt P). Die Menge aller Punkte auf der Kugeloberfläche [mm] $K_1$ [/mm] mit Mittelpunkt P und Radius [mm] $x_1$ [/mm] sind dann entweder blau oder grün, weil [mm] $x_1\not\in\mathcal [/mm] R$.
Sei Q ein grüner Punkt auf [mm] $K_1$ [/mm] , (falls es keinen grünen Punkt gibt, so nehmen wir irgend einen Punkt Q auf [mm] $K_1$). [/mm] Die Menge aller Punkte auf der Kugeloberfläche [mm] $K_2$ [/mm] mit Mittelpunkt Q und Radius [mm] $x_2$ [/mm] sind dann entweder rot oder blau, weil [mm] $x_2\not\in\mathcal [/mm] G$.
Die beiden Kugeln schneiden sich in einem Kreis, weil [mm] $x_2\leq x_1$. [/mm] Alle Punkte auf diesem Kreis sind dann blau. Eine einfache Rechnung zeigt, dass dieser Kreis den Radius [mm] $r=x_2\sqrt{1-(\frac{x_2}{2x_1})^2}\geq\frac{\sqrt 3}{2}x_2$. [/mm] Wegen [mm] $x_3<2r$ [/mm] (das folgt aus dem vorhergehenden und [mm] $x_3\leq x_2$) [/mm] gibt es auf diesem Kreis Punkte (notwendigerweise blau), die den Abstand [mm] $x_3$ [/mm] voneinander haben, im Widerspruch zur Annahme, dass [mm] $x_3\not\in \mathcal [/mm] B$.
mfG Moudi
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Hallo moudi,
Deine Antwort ist wiedermal perfekt! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo moudi!
Ein schöner Beweis, wirklich toll! Ich habe zwar nicht auf Anhieb begriffen, warum die anfängliche Annahme der zu beweisenden Behauptung widerspricht, jetzt ist es aber klar. Sehr schön, ich wünschte, ich würde auch auf so etwas kommen 
Samuel: Nicht, dass du denkst, ich hätte keine Lust deine Aufgaben zu bearbeiten, aber bisher habe ich nichts Vernünftiges zu Stande gebracht - Sorry :-/
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Sa 26.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Hanno,
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> Samuel: Nicht, dass du denkst, ich hätte keine Lust deine
> Aufgaben zu bearbeiten, aber bisher habe ich nichts
> Vernünftiges zu Stande gebracht - Sorry :-/
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Geht mir bei deinen auch oft so 
Gruß Samuel
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