Fast sicher Konv. & L^p - Konv < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)$ [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen. Gilt:
[mm] $X_n \overset{\mbox{f.s.}}{\to} [/mm] X$, [mm] $X_n \overset{L^2}{\to} [/mm] Y$ [mm] \Rightarrow [/mm] $X = Y$
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Hallo,
ich möchte die Zufallsvariablenfolge [mm] $X_n [/mm] = [mm] n^2\cdot 1_{(0,1/n)}$ [/mm] auf [mm] L^2-Konvergenz [/mm] untersuchen (auf W-Raum ((0,1), [mm] B_{(0,1)}, \lambda_{(0,1)}), [/mm] d.h. mit Lebesgue-Maß als W-Maß).
Ich weiß, dass [mm] $X_n \to [/mm] 0$ fast sicher gilt und möchte zeigen, dass [mm] $X_n$ [/mm] nicht in [mm] L^2 [/mm] konvergiert.
Wenn ich annehmen würde, dass es in [mm] $L^2$ [/mm] konvergiert, könnte ich obigen "Satz" benutzen und folgern, dass es gegen 0 in [mm] L^2 [/mm] konvergiert.
Dann wäre ein leichter Widerspruch mit
[mm] $\IE[(X_n [/mm] - [mm] 0)^2] \to \infty$
[/mm]
möglich. Aber gilt der obige "Satz"?
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo steppenhahn,
> Sei [mm](X_n)[/mm] eine Folge von Zufallsvariablen. Gilt:
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> [mm]X_n \overset{\mbox{f.s.}}{\to} X[/mm], [mm]X_n \overset{L^2}{\to} Y[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]X = Y[/mm]
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> Hallo,
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> ich möchte die Zufallsvariablenfolge [mm]X_n = n^2\cdot 1_{(0,1/n)}[/mm]
> auf [mm]L^2-Konvergenz[/mm] untersuchen (auf W-Raum ((0,1),
> [mm]B_{(0,1)}, \lambda_{(0,1)}),[/mm] d.h. mit Lebesgue-Maß als
> W-Maß).
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> Ich weiß, dass [mm]X_n \to 0[/mm] fast sicher gilt und möchte
> zeigen, dass [mm]X_n[/mm] nicht in [mm]L^2[/mm] konvergiert.
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> Wenn ich annehmen würde, dass es in [mm]L^2[/mm] konvergiert,
> könnte ich obigen "Satz" benutzen und folgern, dass es
> gegen 0 in [mm]L^2[/mm] konvergiert.
> Dann wäre ein leichter Widerspruch mit
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> [mm]\IE[(X_n - 0)^2] \to \infty[/mm]
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> möglich. Aber gilt der obige "Satz"?
Höchstens mit X=Y f.s.
Für eine ZV Y mit [mm] X_n\overset{L^2}{\to}Y [/mm] muss für 0<a< 1 gelten
[mm] \int_a^1 |X_n-Y|^2=\int_a^b |Y|^2\to0,n\to\infty
[/mm]
Die Gleichung gilt für n groß genug. Damit folgt jedoch Y=0 f.s auf [a,1]. Nun [mm] a\to0.
[/mm]
Dann kannst du so vorgehen, wie du ursprünglich vorhattest.
LG
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