,,Fast überall"-Folgerung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 28.11.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Sind f, g :X [mm] \to \IR [/mm] messbar und gilt für alle A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] wobei wir uns im Maßraum [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] befinden,:
[mm] \integral_{A}^{}{f d \mu}=\integral_{A}^{}{g d \mu}, [/mm] so folgt:
f=g fast überall. |
Hallo,
ich weiß leider nicht wie ich oben anfangen soll.
Die Definition von messbar ist mir bekannt - wir haben das über das Supremum gemacht - auch fast überall habe ich mittlerweile im Zusammenhang mit den Nullmenge einigermaßen verstanden.
Trotzdem komme ich von der einen zur anderen seite...hat jmd. eine Idee für mich, nach der ich einen Versuch starten kann?
Das wäre wirklich sehr hilfreich
Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:16 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sind f, g :X [mm]\to \IR[/mm] messbar und gilt für alle A [mm]\in \mathcal{A},[/mm]
> wobei wir uns im Maßraum [mm](X,\mathcal{A},\mu)[/mm] befinden,:
> [mm]\integral_{A}^{}{f d \mu}=\integral_{A}^{}{g d \mu},[/mm] so
> folgt:
> f=g fast überall.
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht wie ich oben anfangen soll.
Setze $A := [mm] \{ f \ge g \}$ [/mm] und $B := [mm] \{ g \ge f \}$. [/mm] Dann ist $A [mm] \cup [/mm] B = X$.
Zeige jetzt $f = g$ fast ueberall auf $A$, und $f = g$ fast ueberall auf $B$.
Dazu zeige zuerst: ist $C$ eine messbare Menge und ist $h : X [mm] \to \IR$ [/mm] messbar mit $h [mm] \ge [/mm] 0$ auf $C$ und gilt [mm] $\int_C [/mm] h [mm] d\mu [/mm] = 0$, so ist $h = 0$ fast ueberall auf $C$.
(Vielleicht hattet ihr diese Aussage sogar schon...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo Felix,
danke erstmal für deinen Antwort.
Aber ich verstehe leider noch nicht komplett den Zusammenhang deiner Antwort zur Aufgabe-das mit den Mengen A und B ist ok - die sind wohl später wichtig und bilden ja jetzt vereinigt einfach X - also spricht da nichts gegen - aber was bringt uns diese Aussage, dass das andere Integral mit h Null ist!?
Da sehe ich noch nicht den Zusmenhang - könntest du das bitte einmal erklären, damit ich weiß was ich daeigentlich mache?
Gruß Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Torste!
> danke erstmal für deinen Antwort.
> Aber ich verstehe leider noch nicht komplett den
> Zusammenhang deiner Antwort zur Aufgabe-das mit den Mengen
> A und B ist ok - die sind wohl später wichtig und bilden
> ja jetzt vereinigt einfach X - also spricht da nichts gegen
> - aber was bringt uns diese Aussage, dass das andere
> Integral mit h Null ist!?
> Da sehe ich noch nicht den Zusmenhang - könntest du das
> bitte einmal erklären, damit ich weiß was ich
> daeigentlich mache?
1. Die Aussage "$h [mm] \ge [/mm] 0$, [mm] $\int [/mm] h [mm] d\mu [/mm] = 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $h = 0$ fast ueberall" ist einfach(er) zu zeigen: das liegt an der wichtigen Voraussetzung $h [mm] \ge [/mm] 0$!
2. Aus [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] g [mm] d\mu$ [/mm] folgt [mm] $\int [/mm] h [mm] d\mu [/mm] = 0$ mit $h = f - g$. Jetzt kann dieses $h$ jedoch verschiedene Vorzeichen haben, je nach Stelle. Also muss man es sich auf den Mengen $A$ und $B$ anschauen, wo es jeweils das gleiche Vorzeichen hat (oder Null ist).
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:38 Di 30.11.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo Felix,
> 1. Die Aussage "[mm]h \ge 0[/mm], [mm]\int h d\mu = 0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]h = 0[/mm]
> fast ueberall" ist einfach(er) zu zeigen: das liegt an der
> wichtigen Voraussetzung [mm]h \ge 0[/mm]!
>
Ok - das mag sein, aber diesen Fall mit h [mm] \ge [/mm] 0 hätte ich doch nur, wenn ich die Integrale auf A betrachte, da dort f [mm] \ge [/mm] g ist - bei B gilt doch g [mm] \ge [/mm] f und dann wäre doch h [mm] \le [/mm] 0, oder nicht?
> 2. Aus [mm]\int f d\mu = \int g d\mu[/mm] folgt [mm]\int h d\mu = 0[/mm] mit
> [mm]h = f - g[/mm]. Jetzt kann dieses [mm]h[/mm] jedoch verschiedene
> Vorzeichen haben, je nach Stelle. Also muss man es sich auf
> den Mengen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] anschauen, wo es jeweils das gleiche
> Vorzeichen hat (oder Null ist).
Soll das etwa heißen, ich nehme einmal an, dass gilt:
[mm] \integral_{A}^{}{f d\mu}=\integral_{A}^{}{g d\mu}
[/mm]
und einmal , dass
[mm] \integral_{B}^{}{f d\mu}=\integral_{B}^{}{g d\mu} [/mm]
für die beschrieben definierten Mengen A und B - dann und da ich aus beiden Betrachtungen schließe, dass f=g fast überall, muss es dann auch für ganz h gelten?!
Aber dann verstehe ich immernoch nicht, warum es in dem Falle der Menge B nicht schlimm ist, dass g [mm] \ge [/mm] f gilt...
> LG Felix
>
Gruß zurück
Torste
(P.S. Bist du momentan echt in Kanada?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Torste |
Danke nochmal ! Ich habe es jetzt verstanden!
Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Mi 01.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Torste,
> Danke nochmal ! Ich habe es jetzt verstanden!
gut :) Sieht so aus als haette ich genau im richtigen Moment reingeschaut 
Und ja, ich bin tatsaechlich in Kanada.
LG Felix
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