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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Griesig |
| Aufgabe | Beweisen oder wiederlegen Sie:
Ist f stetig und f>0 [mm] $\lambda$-fast [/mm] überall, dann ist f>0. |
Hallo zusammen!
Ich stehe vor dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Ich habe mir bisher folgendes überlegt. f ist stetig und in [mm] $x\in\mathbb{R}\setminus [/mm] N$ gilt f(x)>0, dann gibt es aber, da N eine Nullmenge ist,in jeder Umgebung U(z) von $z [mm] \in [/mm] N$ ein [mm] $x\mathbb{R}\setminus [/mm] N$ so dass:
$|f(x)-f(z)|<f(x)/2$
ist. Somit wäre die Aussage doch bewiesen oder?
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Huhu,
dein Beweis hat einen Fehler.
Denn woher weisst du, dass dein x dann auch (bzw überhaupt) in der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] zu [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \bruch{f(x)}{2}$ [/mm] liegt?
Desweiteren ist die Aussage falsch.
Erinner dich mal dran, dass jede Einpunktmenge eine [mm] $\lambda$-Nullmenge [/mm] ist.
Gibt es denn nun Funktionen, die nur in Einzelnen Punkten [mm] \le [/mm] 0 aber sonst > Null sind?
edit: Man kann den Satz sogar verallgemeinern zu:
"Ist f eine stetige Funktion und [mm] $\{f=0\}$ [/mm] eine [mm] $\lambda$-Nullmenge, [/mm] so widerlegt |f| die Aussage."
Mach dir mal klar warum 
MFG,
Gono.
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