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| Aufgabe | $s = 1 + 0.8 + [mm] 0.8^{2} [/mm] + ...$
Wieviele Glieder der geometrischen Reihe muss man berücksichtigen, damit der Fehler zu s
a.) kleiner als [mm] 10^{-3}
[/mm]
b.) kleiner als 0.1% wird? |
Hallo.
Bei dieser Aufgabe habe ich zunächst den normalen Grenzwert s mit [mm] $s=\bruch{a_{0}}{1-q}$ [/mm] berechnet. Durch die gegebene Reihe bekommt man ja schnell raus, das [mm] a_{0} [/mm] = 1 und q = 0,8 = [mm] $\bruch{4}{5}$ [/mm] ist.
Da |q| < 1 ist konvergiert die Reihe und besitzt einen endlichen Grenzwert, richtig?
So mit ist [mm] $s=\bruch{1}{1-0.8} [/mm] = 5$
a.) nun habe ich mir überlegt, wie ich das aufstelle. Ich hab mir das so gedacht, das ich Grenzwert und Grenzwert mit Fehler gegenüberstelle.
also s = 5 ? [mm] s_{Fehler} [/mm] = 5 - [mm] 10^{-3}
[/mm]
Für s = 5 setze ich jedoch die Formel [mm] $a_{0}\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm] ein, um meine n-te Gliederanzahl berechnen zu können, richtig?
also ich habe denn wenn ich werte einsetze und umstelle [mm] $(\bruch{4}{5})^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4000}
[/mm]
Nun war ich unsicher. Kann ich jetzt die Formel [mm] $q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}$ [/mm] nehmen?
Ich hab nun für [mm] $a_{n+1}\Rightarrow [/mm] s$ und für [mm] $a_{n}\Rightarrow s_{Fehler}$ [/mm] eingesetzt.
Nach einsetzen und umstellen habe ich am Ende [mm] $(\bruch{4}{5})^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5000}$
[/mm]
davon den log ergibt $n = [mm] log_{\bruch{4}{5}}*\bruch{1}{5000} [/mm] = 38,169$
Das habe ich einfach auf 39 aufgerundet, weil ja eine Reihe keine gebrochenen Glieder besitzt oder?
Also ist die Lösung n = 39.
Ist das richtig?
b.) hier habe ich den Fehler so bestimmt, das dieser 0,1% vom fehlerfreien Grenzwert s ist. Also 0,005
denn habe ich wieder die selbe gegenüberstellung gemacht wie bei a.) und am ende n = 28,957 = 29 herausbekommen.
stimmt das?
bin mir da nicht sicher wegen der formel $q = [mm] \bruch{a{n+1}}{a_{n}}$
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß
Joker 1223
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Hiho,
> Bei dieser Aufgabe habe ich zunächst den normalen
> Grenzwert s mit [mm]s=\bruch{a_{0}}{1-q}[/mm] berechnet. Durch die
> gegebene Reihe bekommt man ja schnell raus, das [mm]a_{0}[/mm] = 1
> und q = 0,8 = [mm]\bruch{4}{5}[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da |q| < 1 ist konvergiert die Reihe und besitzt einen
> endlichen Grenzwert, richtig?
> So mit ist [mm]s=\bruch{1}{1-0.8} = 5[/mm]
> a.) nun habe ich mir überlegt, wie ich das aufstelle. Ich
> hab mir das so gedacht, das ich Grenzwert und Grenzwert mit
> Fehler gegenüberstelle.
> also s = 5 ? [mm]s_{Fehler}[/mm] = 5 - [mm]10^{-3}[/mm]
> Für s = 5 setze ich jedoch die Formel
> [mm]a_{0}\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] ein, um meine n-te
> Gliederanzahl berechnen zu können, richtig?
Wieso für s=5? Du hast recht, dass du für die endliche Summe obige Formel einsetzen musst (wobei du [mm] a_0 [/mm] und q ja bereits kennst)
> also ich habe denn wenn ich werte einsetze und umstelle
> [mm]$(\bruch{4}{5})^{n}[/mm] < [mm]\bruch{1}{4000}[/mm]
Moment, nachrechnen:
[mm] $\bruch{1}{1-q} [/mm] - [mm] \bruch{1 - q^{n+1}}{1-q} [/mm] < [mm] 10^{-3}$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{q^{n+1}}{1-q} [/mm] < [mm] 10^{-3}$
[/mm]
Einsetzen [mm] $q=\bruch{4}{5}$
[/mm]
[mm] $5*\left(\bruch{4}{5}\right)^{n+1} [/mm] < [mm] 10^{-3}$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(\bruch{4}{5}\right)^n [/mm] < [mm] \bruch{1}{4000}$
[/mm]
Ja stimmt 
> Nun war ich unsicher. Kann ich jetzt die Formel
> [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] nehmen?
Moment, wie kommst du auf die Formel? Diese Formel gilt ja nur für die geometrische Folge. Für die Reihe offensichtlich nicht.
Die Formel brauchst du doch auch gar nicht, du kannst oben bei der Ungleichung doch einfach den Logarithmus anwenden, wie es später auch gemacht hast. Wo ist da dein Problem?
Mach das doch einfach nochmal
> b.) hier habe ich den Fehler so bestimmt, das dieser 0,1%
> vom fehlerfreien Grenzwert s ist. Also 0,005
> denn habe ich wieder die selbe gegenüberstellung gemacht
> wie bei a.)
Dann mach beides nochmal wie oben beschrieben, dann sollte das passen.
MFG,
Gono.
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hallo,
von welcher ungleichung soll ich den logarythmus nehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 07.08.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> hallo,
> von welcher ungleichung soll ich den logarythmus nehmen?
von dieser
[mm] (\bruch{4}{5})^{n}<\bruch{1}{4000}
[/mm]
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Hallo,
was ich nicht verstehe ist, das ich beim log doch die form [mm] $a^{c} [/mm] = b$ brauche oder nicht? weil diese form wird ja denn zu $c = [mm] log_{a} [/mm] * b$ umgestellt wird.
wie mach ich das wenn ich [mm] $(\bruch{4}{5})^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4000}$ [/mm] ?
die muss doch noch umgestellt werden das ich ein = habe oder?
So in der Art?
[mm] $(\bruch{4}{5})^{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{4000}$ [/mm] |: [mm] $\bruch{4}{5}$
[/mm]
Gruß
Joker1223
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Hallo joker1223,
> Hallo,
> was ich nicht verstehe ist, das ich beim log doch die form
> [mm]a^{c} = b[/mm] brauche oder nicht? weil diese form wird ja denn
> zu [mm]c = log_{a} * b[/mm] umgestellt wird.
> wie mach ich das wenn ich [mm](\bruch{4}{5})^{n} < \bruch{1}{4000}[/mm]
> ?
> die muss doch noch umgestellt werden das ich ein = habe
> oder?
Nein, du kannst den [mm] $\ln$ [/mm] doch auch auf eine Ungleichung anwenden ...
Für $a>0$ ist [mm] $a^c=e^{\ln\left(a^c\right)}=e^{c\cdot{}ln(a)}$
[/mm]
Wenn du also wie oben in deinem Bsp. die Gleichung [mm] $a^c=b$ [/mm] hast, kannst du das schreiben als
[mm] $e^{c\cdot{}\ln(a)}=b$
[/mm]
Hier den [mm] $\ln$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung anwenden:
[mm] $\Rightarrow \blue{\ln}\left(e^{c\cdot{}\ln(a)}\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\ln}(b)$
[/mm]
Also [mm] $c\cdot{}\ln(a) [/mm] \ = \ [mm] \ln(b)$
[/mm]
Damit [mm] $c=\frac{\ln(b)}{\ln(a)}$
[/mm]
>
> So in der Art?
> [mm](\bruch{4}{5})^{n} < \bruch{1}{4000}[/mm] |: [mm]\bruch{4}{5}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oh weh, lieber nicht
Um sicher zu gehen, schreibe wieder um:
$\left(\frac{4}{5}\right)^n=e^{n\cdot{}\ln\left(\frac{4}{5}\right)$
Das benutze und wende nun wie oben den $\ln$ auf beiden Seiten an.
Nachher beim Auflösen nach n bedenke, dass $\ln\left(\frac{4}{5}\right)<0$ ist. Was passiert da mit dem Ungleichungszeichen, wenn du dadurch teilst?
>
> Gruß
>
> Joker1223
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
hab das jetzt mal so umgestellt und ausgerechnet.
demnach erhält man für n = 37,169 richtig?
wenn ich [mm] $ln\bruch{4}{5} [/mm] < 0 teile dreht sich das ungleichungszeichen natürlich um. also von a < b zu a > b.
gruß
joker1223
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Hallo Joker1223,
> Hallo,
> hab das jetzt mal so umgestellt und ausgerechnet.
> demnach erhält man für n = 37,169 richtig?
Ja.
> wenn ich [mm]$ln\bruch{4}{5}[/mm] < 0 teile dreht sich das
> ungleichungszeichen natürlich um. also von a < b zu a >
> b.
>
> gruß
>
> joker1223
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 07.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, richtig n=38, da es ja ne ganze Zahl ist. Und ob es stimmt, kannst du ja leicht durch einsetzen in [mm] 0.8^{38} [/mm] fesstellen!
Gruss leduart
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