Fehlerabschätzung (Taylor) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 So 28.08.2011 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | [mm]f(x) = ln \left (1+x) [/mm] eine Abschätzung der Restglieder
auf dem Intervall [0; 1] ? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Zuvor musste ich das dritte Taylorpolynom der Funktion bestimmen. Welches ich auch mit [mm] \bruch {x}{1!]} - \bruch {x^2}{2!}+\bruch{2x^3}{3!}[/mm] herausbekommen habe. Wie und wo setze ich denn jetzt das Intervall [0,1] in das Lagrang'sche Restglied ein [mm]\left ( R_n(x) = \bruch{f^{ \left (n+1 \right )} *\epsilon x} {\left (n+1 \right )!}*x^{(n+1)} \right )[/mm]? Wenn ich das überhaupt einsetzen muss. Steh gerade aufm Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 So 28.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Reen1205,
das Intervall selbst lässt sich natürlich nicht in das Restglied einsetzen, aber man kann eine Abschätzung durchführen, indem man für einen Wert aus dem vorgegebenen Intervall das Maximum bestimmt. Achte dabei auf die Monotonie der entwickelten Funktion innerhalb des Intervalls.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 28.08.2011 | | Autor: | Reen1205 |
Tut mir leid, ich komme mit diesem Tipp immer noch nciht weiter.
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Hallo,
vielleicht kannst du mit der abschätzung durch die geometrische Reihe etwas machen:
es ist
$log(1+x) = [mm] \sum _{k=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n} [/mm] $ und sei $|x| [mm] \le [/mm] 1 $
damit ist
$log(1+x ) = [mm] |\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}| \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{|x|^{n}}{n}$
[/mm]
damit kannst du jetzt immer schärfere Abschätzungen machen je nachdem ab welchem Glied du abschätzt.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 28.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
von kushkush hast Du einen Tipp zum Abschätzen bekommen, es geht aber auch ganz direkt. Für das Restglied n-ter Ordnung benötigst Du doch die (n+1)-te Ableitung deiner zu entwickelnden Funktion. Rechne sie mal aus und betrachte sie betragsmäßig in dem Intervall, für das die Entwicklung gelten soll. Für einen Wert in Deinem Entwicklungsintervall nimmt dieser Ausdruck ein Maximum an und dies ist ein Maß für die maximale Abweichung.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Di 30.08.2011 | | Autor: | Reen1205 |
Dafür bräuchte ich doch dann eine generelle Formel, wie die Ableitungen entstehen oder nicht? Also so etwas wie [mm](-1)^{(n+1)}*(n+1)!*(1+x)^{-n}[/mm]
Nur wenn ich jetzt die n+1-Ableitung hiervon forme habe ich ja nur folgendes:
[mm](-1)^{(n+2)}*(n+2)!*(1+x)^{-n+1}[/mm]
Gehe ich da jetzt falsch heran?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Di 30.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch schon im ersten post das Restglied richtig hingeschrieben.
du setzt n=3, also die 4 te Ableitung, da du die dritte ja hast einfach noch mal ableiten, keine allgemeine formel.
dann setzest du zum Abschätzen einfach das [mm] \xi [/mm] aus deinem Intervall ein, bei dem [mm] R_3 [/mm] am größten ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 30.08.2011 | | Autor: | Reen1205 |
also die vierte Ableitung von [mm]f(x)= ln(1+x)[/mm] die Restgliedformel eingesetzt und dann bekomme ich [mm]f^{(IV)}(x) = \bruch{-6}{(1+x)^4}[/mm] und in die Taylorformel eingesetzt [mm]\bruch{-6}{(1+x)^4*4!}*x^4[/mm] und wenn cih nun vom Intervall die größte Zahl einsetze. erhalte ich -0,015625. Ist das dann mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 30.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ein x taucht da aber im Nenner nicht auf, sondern die (n+1)Fakultät. Die Potenzfunktion steigt monoton im Intervall und insofern darfst Du ohne Bedenken den Maximalwert einsetzen. Normalerweise nimmt man noch den Betrag dieser Größe, um damit die Abweichung zu charakterisieren.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Di 30.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was ist der größte Wert den f'''' in dem Intevall annimmt? mit dem Abschätzen. Dann hängt der Fehler noch von x ab, eigentlich lässt man x stehen, sonst musst du sagen: der maximale Fehler wird bei x =1 erreicht. ich glaub nicht, dass das gemeint ist. und ausserdem brauchst du den Betrag, wenn du nen Fehler abschätzt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Reen1205 |
Der größte wert der von f''''(x) im Intervall [0,1] erreicht wird ist doch -0,375. Aber Fehlerabschätzung ist immer noch ein graues Tuch für mich. Ich verstehs einfach nicht. Aber danke für die Versuche.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
solange Du uns nicht sagst, was Du gerechnet hast, ist es schwer, etwas zu erwidern. Für den Wert von x = 1 komme ich betragsmäßig auf einen Wert von 1/4.
Viele Grüße,
Infinit
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