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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
So, nun geht's wieder um Numerik...
Ich soll folgendes zeigen:
[mm] \bruch{(x+\partial x)+(y+\partial y)-(x+y)}{x+y} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x+y}*\bruch{\partial x}{x}+\bruch{y}{x+y}*\bruch{\partial y}{y}
[/mm]
Hierbei sind [mm] $\partial [/mm] x$ und [mm] $\partial [/mm] y$ die Fehler von x und y und es soll exakt also ohne weitere Rundungsfehler gerechnet werden.
Wenn ich aber mit allem, was da steht, ganz "normal" rechnen kann, dann ist das irgendwie trivial. Also irgendwie verstehe ich hier wahrscheinlich etwas falsch, oder?
Wäre schön, wenn mir jemand helfen kann - da kommen noch drei andere solcher Aufgaben.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Hallo!
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> So, nun geht's wieder um Numerik...
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> Ich soll folgendes zeigen:
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> [mm]\bruch{(x+\partial x)+(y+\partial y)-(x+y)}{x+y}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{x+y}*\bruch{\partial x}{x}+\bruch{y}{x+y}*\bruch{\partial y}{y}[/mm]
>
> Hierbei sind [mm]\partial x[/mm] und [mm]\partial y[/mm] die Fehler von x und
> y und es soll exakt also ohne weitere Rundungsfehler
> gerechnet werden.
>
> Wenn ich aber mit allem, was da steht, ganz "normal"
> rechnen kann, dann ist das irgendwie trivial.
Hallo,
diese Gleichung zu zeigen ist wirklich so einfach, daß man es fast nicht glauben kann bei einer Hausübung.
Was teilt einem diese Gleichung mit?
Der relative Fehler der Summe zweier Resultate ist gleich der Summe der gewichteten relativen Fehler der Resultate. So würde ich das in Worte fassen - leider nicht besonders brilliant.
Gruß v. Angela
Also
> irgendwie verstehe ich hier wahrscheinlich etwas falsch,
> oder?
>
> Wäre schön, wenn mir jemand helfen kann - da kommen noch
> drei andere solcher Aufgaben.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Angela!
Vielen Dank für deine Antwort! Aber das kann es doch nicht gewesen sein. Das ist doch kein Beweis!? Also, Teil b) ist quasi genau das Gleiche nur mit der Subtraktion, aber Teil c) und d) sind dann glaube ich etwas schwieriger, und bei Teil e) geht es dann nochmal um etwas anderes. Aber für diese ganze Aufgabe soll es 7 Punkte geben. Ich kann nicht glauben, dass da so eine Antwort reichen soll...
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
dx und dy sind ja hier einfach nur Zahlen. Die Fehler halt. Also kann man auch mit ihnen ganz "normal" rechnen. Die Aufgabe ist demnach wirklich einfach. Freu Dich 
Du kannst die Rechnung ja ein wenig ausführlicher hinschreiben.
"Wie man auf den ersten Blick sieht" gibt eventuell keine Punkte 
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathemaduenn!
> dx und dy sind ja hier einfach nur Zahlen. Die Fehler
> halt. Also kann man auch mit ihnen ganz "normal" rechnen.
> Die Aufgabe ist demnach wirklich einfach. Freu Dich
> Du kannst die Rechnung ja ein wenig ausführlicher
> hinschreiben.
> "Wie man auf den ersten Blick sieht" gibt eventuell keine
> Punkte
Ok, dann werde ich also mal versuchen, um den heißen Brei rumzureden...
So, das Gleiche geht dann wohl auch noch mit Teil b):
[mm] \bruch{(x+\partial{x})-(y+\partial{y})-(x-y)}{x-y} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x-y}*\bruch{\partial{x}}{x}-\bruch{y}{x-y}*\bruch{\partial{y}}{y}
[/mm]
Aufgabe c) lautet:
[mm] \bruch{(x+\partial{x})*(y+\partial{y})-(x*y)}{x*y} \approx \bruch{\partial{x}}{x}+\bruch{\partial{y}}{y}
[/mm]
Und die habe ich folgendermaßen gelöst:
[mm] \bruch{(x+\partial{x})*(y+\partial{y})-(x*y)}{x*y} [/mm] = [mm] \bruch{xy+y\partial{y}+x\partial{y}+\partial{x}\partial{y}-xy}{xy} [/mm] = [mm] \bruch{y\partial{x}}{xy}+\bruch{x\partial{y}}{xy}+\bruch{\partial{x}\partial{y}}{xy} [/mm] = [mm] \bruch{\partial{x}}{x}+\bruch{\partial{y}}{y}+\bruch{\partial{x}}{x}+\bruch{\partial{y}}{y}
[/mm]
Und da nach Voraussetzung gilt: [mm] \bruch{\partial{x}}{x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{y}}{y} [/mm] << 1 steht doch dann da die Behauptung, oder?
Aber bei Aufgabe d) komme ich nicht so ganz weiter:
[mm] \bruch{\bruch{x+\partial{x}}{y+\partial{y}}-\bruch{x}{y}}{\bruch{x}{y}} \approx \bruch{\partial{x}}{x}-\bruch{\partial{y}}{y}
[/mm]
Egal, wie ich umforme, ich komme am Ende immer auf:
[mm] \bruch{y\partial{x}}{xy+x\partial{y}}-\bruch{\partial{y}}{y+\partial{y}}
[/mm]
Ich vermute, dass man jetzt irgendwie so argumentieren muss wie gerade, halt dass etwas gilt, weil [mm] \bruch{\partial{x}}{x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial{y}}{y} [/mm] << 1, aber ich weiß nicht, wie ich das hier einbauen soll. Ob mir hier nochmal jemand helfen könnte?
So, und dann noch Teil e):
Falls der relative Fehler des Ergebnisses sehr viel größer ist, als der relative Fehler der Eingabedaten, so spricht man von Auslöschung. In welchen der obigen Fälle kann Auslöschung auftreten?
Hier würde ich sagen, auf jeden Fall bei b) (ist ja auch bekannt, dass das bei der Subtraktion der Fall ist...). Und zwar , falls x und y fast gleich groß sind, dann ist x-y fast =0, also werden die Faktoren [mm] \bruch{x}{x-y} [/mm] und [mm] \bruch{y}{x-y} [/mm] sehr groß. Oder muss ich hier genau anders herum argumentieren? Weil diese Faktoren sehr groß werden, wird der relative Fehler sehr groß. Mmh - irgendwie habe ich gerade den Überblick verloren, aber der Grundgedanke stimmt doch, oder? Und kann das bei einem der anderen Fälle auch noch auftreten?
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Mir ist gerade aufgefallen, dass das ja eigentlich das falsche [mm] \delta [/mm] für diese Sachen hier ist. Aber ich habe kein anderes gefunden. Weiß jemand zufällig, wie man das hier schreibt?
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Hallo Bastiane,
> Ok, dann werde ich also mal versuchen, um den heißen Brei
> rumzureden...
>
> So, das Gleiche geht dann wohl auch noch mit Teil b):
>
> [mm]\bruch{(x+\partial{x})-(y+\partial{y})-(x-y)}{x-y}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{x-y}*\bruch{\partial{x}}{x}-\bruch{y}{x-y}*\bruch{\partial{y}}{y}[/mm]
>
> Aufgabe c) lautet:
>
> [mm]\bruch{(x+\partial{x})*(y+\partial{y})-(x*y)}{x*y} \approx \bruch{\partial{x}}{x}+\bruch{\partial{y}}{y}[/mm]
>
> Und die habe ich folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]\bruch{(x+\partial{x})*(y+\partial{y})-(x*y)}{x*y}[/mm] =
> [mm]\bruch{xy+y\partial{y}+x\partial{y}+\partial{x}\partial{y}-xy}{xy}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{y\partial{x}}{xy}+\bruch{x\partial{y}}{xy}+\bruch{\partial{x}\partial{y}}{xy}[/mm]
> =
>
Deine Argumentation verstehe ich hier nicht.
Der Term [mm] \partial{x}\partial{y} [/mm] ist höherer Ordnung und entfällt. Dann steht das da was z.z. war.
> Aber bei Aufgabe d) komme ich nicht so ganz weiter:
>
> [mm]\bruch{\bruch{x+\partial{x}}{y+\partial{y}}-\bruch{x}{y}}{\bruch{x}{y}} \approx \bruch{\partial{x}}{x}-\bruch{\partial{y}}{y}[/mm]
Wenn Du hier mit [mm] \bruch{y}{x} [/mm] erweiterst bleibt
[mm] \bruch{xy+y\partial{x} }{xy+x\partial{y}}-1
[/mm]
Jetzt den Bruch ein wenig schriftlich dividieren.
[mm] (xy+y\partial{x}):(xy+x\partial{y})=1+\bruch{\partial{x}}{x}-\bruch{\partial{y}}{y}+ [/mm] (Terme höherer Ordnung)
Die Terme höherer Ordnung kann man dann jeweils weglassen. Produkt 2er kleiner Zahlen ist eine sehr kleine Zahl ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") Was eine Aussage. Fast schon unmathematisch. So wenig Exaktheit.
> So, und dann noch Teil e):
>
> Falls der relative Fehler des Ergebnisses sehr viel größer
> ist, als der relative Fehler der Eingabedaten, so spricht
> man von Auslöschung. In welchen der obigen Fälle kann
> Auslöschung auftreten?
> Hier würde ich sagen, auf jeden Fall bei b) (ist ja auch
> bekannt, dass das bei der Subtraktion der Fall ist...). Und
> zwar , falls x und y fast gleich groß sind, dann ist x-y
> fast =0, also werden die Faktoren [mm]\bruch{x}{x-y}[/mm] und
> [mm]\bruch{y}{x-y}[/mm] sehr groß.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Oder muss ich hier genau anders
> herum argumentieren? Weil diese Faktoren sehr groß werden,
> wird der relative Fehler sehr groß. Mmh - irgendwie habe
> ich gerade den Überblick verloren, aber der Grundgedanke
> stimmt doch, oder? Und kann das bei einem der anderen Fälle
> auch noch auftreten?
Bei a) natürlich.
Summe und Differenz 2er kleiner Zahlen bleibt eine kleine Zahl.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 07.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Angela!
> > Ich soll folgendes zeigen:
> >
> > [mm]\bruch{(x+\partial x)+(y+\partial y)-(x+y)}{x+y}[/mm] =
> > [mm]\bruch{x}{x+y}*\bruch{\partial x}{x}+\bruch{y}{x+y}*\bruch{\partial y}{y}[/mm]
> >
> > Hierbei sind [mm]\partial x[/mm] und [mm]\partial y[/mm] die Fehler von x und
> > y und es soll exakt also ohne weitere Rundungsfehler
> > gerechnet werden.
> Was teilt einem diese Gleichung mit?
> Der relative Fehler der Summe zweier Resultate ist gleich
> der Summe der gewichteten relativen Fehler der Resultate.
> So würde ich das in Worte fassen - leider nicht besonders
> brilliant.
Was genau meinst du eigentlich mit "gewichtet"? Also, eigentlich weiß ich, was es bedeutet, aber hier sehe ich es irgendwie gerade nicht. Welches ist denn der Gewichtungsfaktor? Und wieso ist es gerade der? Folgt das nur aus dieser Gleichung oder kann man das noch anders erklären?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
> > > Ich soll folgendes zeigen:
> > >
> > > [mm]\bruch{(x+\partial x)+(y+\partial y)-(x+y)}{x+y}[/mm] =
> > > [mm]\red{\bruch{x}{x+y}}*\green{\bruch{\partial x}{x}}+\red{\bruch{y}{x+y}}*\green{\bruch{\partial y}{y}}[/mm]
>
> > >
> > > Hierbei sind [mm]\partial x[/mm] und [mm]\partial y[/mm] die Fehler von x und
> > > y und es soll exakt also ohne weitere Rundungsfehler
> > > gerechnet werden.
>
> > Was teilt einem diese Gleichung mit?
> > Der relative Fehler der Summe zweier Resultate ist gleich
> > der Summe der gewichteten relativen Fehler der Resultate.
> > So würde ich das in Worte fassen - leider nicht besonders
> > brilliant.
>
> Was genau meinst du eigentlich mit "gewichtet"? Also,
> eigentlich weiß ich, was es bedeutet, aber hier sehe ich es
> irgendwie gerade nicht. Welches ist denn der
> Gewichtungsfaktor?
Ich habe die Wichtungsfaktoren mal rot markiert und die relativen Fehler der Eingangswerte grün.
> Und wieso ist es gerade der?
Weil das grüne eben die relativen Fehler sind und das was damit multpliziert wird die Wichtungsfaktoren. Per Definition quasi
> Folgt das
> nur aus dieser Gleichung oder kann man das noch anders
> erklären?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Warum sollte man?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo mathemaduenn!
Danke für alle Antworten. Leider geht mein Internet zu Hause seit Sonntag immer noch nicht wieder, sodass ich nur mal kurz in der Uni hier reinschaue. Ich habe aber deine Antworten noch gestern vor der Abgabe es Übungszettels gelesen. Es hat geholfen - vielen Dank.
viele Grüße
Bastiane
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