Fehlerfortpflanzung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Do 20.08.2009 | | Autor: | marcello |
| Aufgabe | | An einem geraden Kreiskegel ergaben sich aus einer Messung die WErte r = 30cm für den Grundkreisradius und h = 40 cm für die Höhe. Wie groß sind absoluter und relativer Fehler der Mantelfläche höchstens, wenn für die absoluten Fehler von r und h gilt [mm] |\Delta [/mm] r| = [mm] |\Delta [/mm] h| [mm] \le [/mm] 0,1 cm. |
Hallo Leute,
bei der Aufgabe oben geht es um die Fehlerfortpflanzung. Und ich muss sagen, da hab ich ziemliche Schwierigkeiten.
Erst einmal mein Wissenstand dazu: Wenn ich den absoluten Fehler einer Formel z mit Näherungswerten [mm] \underline{a} [/mm] ausrechen möchte, dann rechne ich [mm] \delta [/mm] z = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partialf}{\partial x_{i}}*(\underline{a})*dx_{i}. [/mm] Für den relativen Fehler rechne ich dann [mm] \bruch{|\delta z|}{|z|}. [/mm] Ich hoffe, dass ist soweit richtig.
Für die Aufgabe brauche ich ja eine Formel für die Manteloberfläche des Kreiskegels. Diese lautet [mm] \pi*r*s [/mm] mit s = Länge der Mantelfläche (von Kegelspitze zu Kegelboden).
Ich komme nun nicht weiter, wenn ich versuche das ganze in Verbindung zu setzen. Wie kann es mir helfen, dass ich die absoluten Fehler von r und h gegeben habe?
Würde es mich weiterbringen, wenn ich zunächst s bestimme (-> s = [mm] \wurzel{r^{2} + h ^{2}}) [/mm] und dann [mm] \delta [/mm] z bestimme? Wo kann ich dort die gebenen Fehler von r und h einsetzen?
Danke schonmal im Voraus für eure Geduld und Hilfe!
Grüße, marcello
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Hallo marcello,
> An einem geraden Kreiskegel ergaben sich aus einer Messung
> die WErte r = 30cm für den Grundkreisradius und h = 40 cm
> für die Höhe. Wie groß sind absoluter und relativer
> Fehler der Mantelfläche höchstens, wenn für die
> absoluten Fehler von r und h gilt [mm]|\Delta[/mm] r| = [mm]|\Delta[/mm] h|
> [mm]\le[/mm] 0,1 cm.
> Hallo Leute,
>
> bei der Aufgabe oben geht es um die Fehlerfortpflanzung.
> Und ich muss sagen, da hab ich ziemliche Schwierigkeiten.
> Erst einmal mein Wissenstand dazu: Wenn ich den absoluten
> Fehler einer Formel z mit Näherungswerten [mm]\underline{a}[/mm]
> ausrechen möchte, dann rechne ich [mm]\delta[/mm] z =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{\partialf}{\partial x_{i}}*(\underline{a})*dx_{i}.[/mm]
Die Formel, die Du meinst, lautet so:
[mm]\delta z = \summe_{i=1}^{n} \bruch{\partial f}{\partial x_{i}}(\underline{a})*dx_{i}[/mm]
Da sich die Fehler hier aber gegenseitig auslöschen können,
ist folgende Formel anzuwenden:
[mm]\delta z = \summe_{i=1}^{n} \vmat{\bruch{\partial f}{\partial x_{i}}(\underline{a})}*dx_{i}[/mm]
> Für den relativen Fehler rechne ich dann [mm]\bruch{|\delta z|}{|z|}.[/mm]
> Ich hoffe, dass ist soweit richtig.
Ja.
>
> Für die Aufgabe brauche ich ja eine Formel für die
> Manteloberfläche des Kreiskegels. Diese lautet [mm]\pi*r*s[/mm] mit
> s = Länge der Mantelfläche (von Kegelspitze zu
> Kegelboden).
> Ich komme nun nicht weiter, wenn ich versuche das ganze in
> Verbindung zu setzen. Wie kann es mir helfen, dass ich die
> absoluten Fehler von r und h gegeben habe?
> Würde es mich weiterbringen, wenn ich zunächst s
> bestimme (-> s = [mm]\wurzel{r^{2} + h ^{2}})[/mm] und dann [mm]\delta[/mm] z
> bestimme? Wo kann ich dort die gebenen Fehler von r und h
> einsetzen?
Setze in die Formel, statt des Differentials dr bzw dh,
die absoluten Fehler [mm] \Delta r[/mm] bzw. [mm]\Delta h[/mm] ein:
Dann lautet die Formel:
[mm]\Delta z = \bruch{\partial f}{\partial r}\left(r,h\right)*\Delta r+\bruch{\partial f}{\partial h}\left(r,h\right)*\Delta h[/mm]
bzw.
[mm]\Delta z = \vmat{\bruch{\partial f}{\partial r}\left(r,h\right)}*\Delta r+\vmat{\bruch{\partial f}{\partial h}\left(r,h\right)}*\Delta h[/mm]
>
> Danke schonmal im Voraus für eure Geduld und Hilfe!
>
> Grüße, marcello
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 21.08.2009 | | Autor: | marcello |
Hallo MathePower!
Danke für deine Hilfe. Ich muss also in [mm] \Delta [/mm] z = [mm] \vmat{\bruch{\partial f}{\partial r}\left(r,h\right)}\cdot{}\Delta r+\vmat{\bruch{\partial f}{\partial h}\left(r,h\right)}\cdot{}\Delta [/mm] h einsetzen, aber mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, welche Formel ich dazu verwende und ableite. Wenn ich die Mantelfläche für einen Kreiskegel errechnen mächte, dann erhalte ich folgende Formel: [mm] A_{m} [/mm] = [mm] \pi\cdot{}r\cdot{}s [/mm] und ich setzt für s = [mm] \wurzel{r^{2} + h ^{2}}) [/mm] ein. Für die Ableitungen erhalte ich dann [mm] \bruch{\delta f}{\delta r} [/mm] = [mm] \pi*(\bruch{2*r^2+h^2}{\wurzel{r^2+h^2}} [/mm] und [mm] \bruch{\delta f}{\delta h} [/mm] = [mm] (\bruch{\pi*r*h}{\wurzel{r^2+h^2}}. [/mm] Setze ich nun r = 30 und h = 40 erhalte ich [mm] \bruch{\delta f}{\delta r} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * 170 [mm] \approx [/mm] 534,07 und für [mm] \bruch{\delta f}{\delta h} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * 24 [mm] \approx [/mm] 75,40.
Für [mm] \Delta [/mm] z kommt dann [mm] \Delta [/mm] z = 534,07 * [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + 75,40 * [mm] \bruch{1}{10} \approx [/mm] 60,947 raus.
Ich bin mir aber nicht sehr sicher... Wie genau muss ich das einsetzen von [mm] \Delta [/mm] r und [mm] \delta [/mm] h in [mm] \delta [/mm] z für dx bzw dy deuten?
Danke und beste Grüße,
marcello
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 21.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wie du schon korrekterweise gesagt hast, gilt hier folgende Formel:
[mm] M=\pi*r*s=\pi*r*\wurzel{h^{2}+r^{2}}
[/mm]
git für den Fehler $ [mm] \Delta [/mm] M $ der Mantelfläche:
$ [mm] \Delta [/mm] M = [mm] \left| \frac{\partial M}{\partial r} \right| \cdot \Delta [/mm] r + [mm] \left|\frac{\partial M}{\partial h} \right| \cdot \Delta [/mm] h $
Hierbei gilt:
[mm] \frac{\partial M}{\partial r}=\pi*\wurzel{r^{2}+h^{2}}+\pi*r*\bruch{r}{\wurzel{r^{2}+h^{2}}}
[/mm]
(Zusammengesetzt aus einer Kombination aus Produkt- und Kettenregel.)
Und [mm] \frac{\partial M}{\partial h}=\bruch{\pi*r*h}{\wurzel{r^{2}+h^{2}}}
[/mm]
(Kettenregel)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 So 23.08.2009 | | Autor: | marcello |
Soweit habe ich die Ableitungen auch gehabt. Wenn ich jetzt aber in [mm] \Delta [/mm] M = [mm] \left| \frac{\partial M}{\partial r} \right| \cdot \Delta [/mm] r + [mm] \left|\frac{\partial M}{\partial h} \right| \cdot \Delta [/mm] h h und r einsetze, dann erhalte ich [mm] \Delta [/mm] M = [mm] |\pi*170| [/mm] * [mm] \Delta [/mm] r + [mm] |\pi*24| [/mm] * [mm] \Delta [/mm] h und setze dann für [mm] \Delta [/mm] r bzw [mm] \Delta [/mm] h jeweils [mm] \bruch{1}{10} [/mm] ein und rechne dann [mm] \Delta [/mm] M = [mm] |\pi*170| [/mm] * [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + [mm] |\pi*24| [/mm] * [mm] \bruch{1}{10} [/mm] aus und bekomme [mm] \Delta [/mm] M [mm] \approx [/mm] 53,407 + 7,540 [mm] \approx [/mm] 60,947.
Ist das soweit richtig?
Für den relativen Fehler [mm] \bruch{|\Delta M|}{|M|} [/mm] erhalte ich dann [mm] \approx \bruch{60,947}{188495,5} \approx [/mm] 0,0003234. Aber der Wert ist doch nie im Leben realistisch oder?
Ich glaube, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe.
Danke für Eure Unterstützung, Ihr seid klasse!
Gruß, marcello
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> Soweit habe ich die Ableitungen auch gehabt. Wenn ich jetzt
> aber in [mm]\Delta[/mm] M = [mm]\left| \frac{\partial M}{\partial r} \right| \cdot \Delta[/mm]
> r + [mm]\left|\frac{\partial M}{\partial h} \right| \cdot \Delta[/mm]
> h h und r einsetze, dann erhalte ich [mm]\Delta[/mm] M = [mm]|\pi*170|[/mm] *
> [mm]\Delta[/mm] r + [mm]|\pi*24|[/mm] * [mm]\Delta[/mm] h und setze dann für [mm]\Delta[/mm] r
> bzw [mm]\Delta[/mm] h jeweils [mm]\bruch{1}{10}[/mm] ein und rechne dann
> [mm]\Delta[/mm] M = [mm]|\pi*170|[/mm] * [mm]\bruch{1}{10}[/mm] + [mm]|\pi*24|[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{10}[/mm] aus und bekomme [mm]\Delta[/mm] M [mm]\approx[/mm] 53,407 +
> 7,540 [mm]\approx[/mm] 60,947.
> Ist das soweit richtig?
>
> Für den relativen Fehler [mm]\bruch{|\Delta M|}{|M|}[/mm] erhalte
> ich dann [mm]\approx \bruch{60,947}{188495,5} \approx[/mm]
> 0,0003234. Aber der Wert ist doch nie im Leben realistisch
> oder?
> Ich glaube, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe.
also ich hab bei dM/dr nicht [mm] 170*\pi [/mm] raus sondern weniger
und M im Nenner erscheint mir auch zu hoch
>
> Danke für Eure Unterstützung, Ihr seid klasse!
>
> Gruß, marcello
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 So 23.08.2009 | | Autor: | marcello |
> also ich hab bei dM/dr nicht [mm]170*\pi[/mm] raus sondern weniger
> und M im Nenner erscheint mir auch zu hoch
Oh mein Gott, ich weiß nicht mehr, was ich vorhin in meinen Taschenrechner gehämmert habe, aber es war vollkommen falsch... ;)
Ich habe nochmal nachgerechnet: ich habe für [mm] \Delta [/mm] M [mm] \approx [/mm] 28,90 und für [mm] \bruch{|\Delta M|}{|M|} \approx [/mm] 0,006133 heraus.
Stimmt das mit deinen Ergebnis überein?
Gruß, marcello
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Hallo marcello,
>
> > also ich hab bei dM/dr nicht [mm]170*\pi[/mm] raus sondern weniger
> > und M im Nenner erscheint mir auch zu hoch
>
> Oh mein Gott, ich weiß nicht mehr, was ich vorhin in
> meinen Taschenrechner gehämmert habe, aber es war
> vollkommen falsch... ;)
> Ich habe nochmal nachgerechnet: ich habe für [mm]\Delta[/mm] M
> [mm]\approx[/mm] 28,90 und für [mm]\bruch{|\Delta M|}{|M|} \approx[/mm]
> 0,006133 heraus.
> Stimmt das mit deinen Ergebnis überein?
Ja, das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß, marcello
Gruss
MathePower
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