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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Di 03.11.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Wir wollen nun die Fortpflanzung von Fehlern bei der Durchführung der vier arithmetischen Grundoperationen (+ , - , * ; / ) betrachten. Es seinen X, Y die mit relativen Fehlern [mm] \varepsilon_{x} \varepsilon_{y} [/mm] behafteten Werten für x bzw. y. Zeigen Sie, dass selbst bei exakter Rechnung (also ohne weitere Rundungsfehler) für die relativen Fehler der Ergebnisse die folgenden Aussagen gelten.
a) [mm] \bruch{(x + y) - (X + Y)}{x + y } [/mm] = [mm] \varepsilon_{x}\bruch{x}{x + y} [/mm] + [mm] \varepsilon_{y} \bruch{y}{x + y} [/mm] |
Erstmal allgemein zur Aufgabe. X Y sind eigentlich x "schlange", y "schlange", konnte jedoch kein Symbol dafür finden.
Aufgabenteil b) - d) habe ich weggelassen, da ich davon ausgehe, dass, wenn ich erstmal weiß, was ich bei der Addition zu machen habe, auch herausfinden kann, wie das selbe für ( - , * , / ) funktionieren sollte.
Ich habe es bis jetzt so versucht, das X, Y gegen [mm] \varepsilon_{x} [/mm] , [mm] \varepsilon_{y} [/mm] ersetzt habe und dann versucht habe, die linke Seite so hinzubiegen, wie die Rechte. Dies hat bei mir jedoch nicht so ganz hingehauen.
Sollte das jedoch doch der richtige Weg sein, bitte ich nur um eine kurze Mitteilung, und ich probiere es weiter, will mich jetzt jedoch nicht weiter in einen falschen Lösungsweg verbeißen. Eine andere Methode fällt mir nicht ein, die Aufgabe zu lösen ...
Wäre für jeden Hinweis sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo jales,
> Wir wollen nun die Fortpflanzung von Fehlern bei der
> Durchführung der vier arithmetischen Grundoperationen (+ ,
> - , * ; / ) betrachten. Es seinen X, Y die mit relativen
> Fehlern [mm]\varepsilon_{x} \varepsilon_{y}[/mm] behafteten Werten
> für x bzw. y. Zeigen Sie, dass selbst bei exakter Rechnung
> (also ohne weitere Rundungsfehler) für die relativen
> Fehler der Ergebnisse die folgenden Aussagen gelten.
>
> a) [mm]\bruch{(x + y) - (X + Y)}{x + y }[/mm] =
> [mm]\varepsilon_{x}\bruch{x}{x + y}[/mm] + [mm]\varepsilon_{y} \bruch{y}{x + y}[/mm]
>
> Erstmal allgemein zur Aufgabe. X Y sind eigentlich x
> "schlange", y "schlange", konnte jedoch kein Symbol dafür
> finden.
x schlange schreibst Du so: [mm]\tilde{x}[/mm]
> Aufgabenteil b) - d) habe ich weggelassen, da ich davon
> ausgehe, dass, wenn ich erstmal weiß, was ich bei der
> Addition zu machen habe, auch herausfinden kann, wie das
> selbe für ( - , * , / ) funktionieren sollte.
>
> Ich habe es bis jetzt so versucht, das X, Y gegen
> [mm]\varepsilon_{x}[/mm] , [mm]\varepsilon_{y}[/mm] ersetzt habe und dann
> versucht habe, die linke Seite so hinzubiegen, wie die
> Rechte. Dies hat bei mir jedoch nicht so ganz hingehauen.
> Sollte das jedoch doch der richtige Weg sein, bitte ich nur
> um eine kurze Mitteilung, und ich probiere es weiter, will
> mich jetzt jedoch nicht weiter in einen falschen
> Lösungsweg verbeißen. Eine andere Methode fällt mir
> nicht ein, die Aufgabe zu lösen ...
Nach dem Aufgabenteil a) ist
[mm]X=\tilde{x}=\left(1-\varepsilon_{x}\right)*x[/mm]
[mm]Y=\tilde{y}=\left(1-\varepsilon_{y}\right)*y[/mm]
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> Wäre für jeden Hinweis sehr dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Di 03.11.2009 | | Autor: | jales |
Also diese [mm] X=\tilde{x}=\left(1-\varepsilon_{x}\right)\cdot{}x [/mm] und [mm] Y=\tilde{y}=\left(1-\varepsilon_{y}\right)\cdot{}y [/mm] in die linke Seite einsetzen und auflösen ?
Woher weiß ich denn, dass [mm] \tilde{x} [/mm] und [mm] \tilde{y} [/mm] eben das sind ?
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Hallo jales,
> Also diese
> [mm]X=\tilde{x}=\left(1-\varepsilon_{x}\right)\cdot{}x[/mm] und
> [mm]Y=\tilde{y}=\left(1-\varepsilon_{y}\right)\cdot{}y[/mm] in die
> linke Seite einsetzen und auflösen ?
>
> Woher weiß ich denn, dass [mm]\tilde{x}[/mm] und [mm]\tilde{y}[/mm] eben das
> sind ?
Nun [mm]\varepsilon_{x}, \ \varepsilon_{y}[/mm] sind die relativen Fehler von x bzw. y.
Das heißt [mm]\tilde{x}[/mm] bzw. [mm]\tilde{y}[/mm] weichen um [mm]\varepsilon_{x}*x[/mm] bzw. [mm]\varepsilon_{y}*y[/mm]
von den gegebenen Werten x und y ab.
Daher ist
[mm]\tilde{x}=x\pm\varepsilon_{x}*x=x*\left(1\pm\varepsilon_{x}\right)[/mm]
[mm]\tilde{y}=x\pm\varepsilon_{y}*y=y*\left(1\pm\varepsilon_{y}\right)[/mm]
Um das mit der Formel in Einklang zu bringen, muss
[mm]\tilde{x}=x-\varepsilon_{x}*x=x*\left(1-\varepsilon_{x}\right)[/mm]
[mm]\tilde{y}=y-\varepsilon_{y}*y=y*\left(1-\varepsilon_{y}\right)[/mm]
sein.
Eigentlich müßte hier stehen:
[mm] \vmat{\bruch{(x + y) - (X + Y)}{x + y }} = \varepsilon_{x}\vmat{\bruch{x}{x + y}} + \varepsilon_{y} \vmat{\bruch{y}{x + y}}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
ich sitze an der gleichen Aufgabe. Wie bist Du denn auf die Lösungen gekommen?
Ich habe sie mal eingesetzt, klappt wunderbar. Aber was hast Du genau gemacht? Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Viele Grüsse
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Hallo Sonnenschein123,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo MathePower,
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> ich sitze an der gleichen Aufgabe. Wie bist Du denn auf die
> Lösungen gekommen?
> Ich habe sie mal eingesetzt, klappt wunderbar. Aber was
> hast Du genau gemacht? Würde mich über eine Antwort sehr
> freuen.
Siehe dazu diese Antwort.
>
> Viele Grüsse
Gruss
MathePower
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