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| Aufgabe | Wir wollen nun die Fortpflanzung von Fehlern bei der Durchführung der vier arithmetischen Grundoperationen (+, -, *, / ) betrachten. Es seien [mm]\tilde{x}[/mm],[mm]\tilde{y}[/mm] die mit relativen Fehlern [mm] \epsilon_x [/mm] , [mm] \epsilon_y [/mm] behafteten Werte für x bzw. y. Zeigen Sie, daß selbst bei exakter Rechnung (also ohne weitere Rundungsfehler) für die relativen Fehler der Ergebnisse die folgenden Aussagen gelten:
Habe hier leider die Schlange nicht für x und y in den Term bekommen, daher X und Y
a) [mm] \bruch{(x+y)-(X+Y)}{x+y}= \epsilon_x\bruch{x}{x+y}+\epsilon_y\bruch{y}{x+y}
[/mm]
[mm] b)\bruch{(x-y)-(X-Y)}{x-y}= \epsilon_x\bruch{x}{x-y}-\epsilon_y\bruch{y}{x-y}
[/mm]
c) [mm] \bruch{x*y-X*Y}{x*y}=\epsilon_x [/mm] + [mm] \epsilon_y-\epsilon_x\epsilon_y
[/mm]
d) [mm] \bruch{x/y-X/Y}{x/y}=\epsilon_x-\epsilon_y+\bruch{\epsilon_y}{1-\epsilon_y}(\epsilon_x -\epsilon_y)
[/mm]
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So die a) hatte hier schon jemand gestellt, und unter der Voraussetzung, dass [mm]\tilde{x}[/mm][mm] =x*(1-\epsilon_x) [/mm] und [mm]\tilde{y}[/mm]= [mm] y*(1-\epsilon_y) [/mm] ist konnte ich die a) wunderbar lösen.
Wenn ich aber für b) hingegen z.B. [mm]\tilde{x}[/mm][mm] =x*(1+\epsilon_x) [/mm] und analog für [mm]\tilde{y}[/mm] einsetze, wird es immer falsch.
Und wie sollte ich am besten an die c) und d) drangehen?
Freue mich über jeden Tipp.
Vielen Dank im Voraus für Eure Mühen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Di 03.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach stur rechnen. was klappt denn nicht?
(ich find eure Formeln komisch, weil Fehler ja nicht immer ein bkanntes Vorzeichen haben. aber mit immer positiven Fehlern muss man nur einfach druaflosrechnen. Im zweifel poste deine Rechnungen. Dann kann man sehen, wo du was falsch machst.
Gruss leduart
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Hallo,
also die b)
[mm]\tilde{x}[/mm][mm] =x(1+\epsilon_x)
[/mm]
[mm]\tilde{y}[/mm][mm] =y(1+\epsilon_y)
[/mm]
[mm] \bruch{(x-y)-(x+\epsilon_x*x-y+\epsilon_y*y)}{x-y}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{x-y-x-\epsilon_x*x+y-\epsilon_y*y}{x-y}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{-\epsilon__x*x-\epsilon_y*y}{x-y}
[/mm]
Wo habe ich den Fehler gemacht?
Danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Di 03.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo,
>
> also die b)
>
> [mm]\tilde{x}[/mm][mm] =x(1+\epsilon_x)[/mm]
> [mm]\tilde{y}[/mm][mm] =y(1+\epsilon_y)[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x-y)-(x+\epsilon_x*x-y+\epsilon_y*y)}{x-y}[/mm]
hier der Fehler: Klammer fehlt oder falsches Vorzeichen.
richtig:
[mm]\bruch{(x-y)-(x+\epsilon_x*x-(y+\epsilon_y*y))}{x-y}[/mm]
Gruss leduart
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Oh Mann,
nun komme ich auf:
[mm] \bruch{-\epsilon_x*x+\epsilon_y*y}{x-y}
[/mm]
:-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 04.11.2009 | | Autor: | leduart |
hallo
Das ist auch richtig, wenn man den Fehler immer pios. nimmt. wenn man von der exakten Zahl x, mit der zu grossen fehlerbehafteten vergleich (nimm y exakt, si muss ein negativer Fehler rauskommen.
alternativ setz [mm] X=x-\epsilon_x
[/mm]
Wie gesagt, beim Subtrhieren Fehler zu subtrahieren ist eh Unsinn.
Deine Rechnung bei den Vorgaben ist richtig.
Habt ihr die [mm] \epsilon [/mm] mal genauer definiert?
Gruss leduart
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Hallo Sonnenschein123,
> Wir wollen nun die Fortpflanzung von Fehlern bei der
> Durchführung der vier arithmetischen Grundoperationen (+,
> -, *, / ) betrachten. Es seien [mm]\tilde{x}[/mm],[mm]\tilde{y}[/mm] die mit
> relativen Fehlern [mm]\epsilon_x[/mm] , [mm]\epsilon_y[/mm] behafteten Werte
> für x bzw. y. Zeigen Sie, daß selbst bei exakter Rechnung
> (also ohne weitere Rundungsfehler) für die relativen
> Fehler der Ergebnisse die folgenden Aussagen gelten:
>
> Habe hier leider die Schlange nicht für x und y in den
> Term bekommen, daher X und Y
>
> a) [mm]\bruch{(x+y)-(X+Y)}{x+y}= \epsilon_x\bruch{x}{x+y}+\epsilon_y\bruch{y}{x+y}[/mm]
>
>
> [mm]b)\bruch{(x-y)-(X-Y)}{x-y}= \epsilon_x\bruch{x}{x-y}-\epsilon_y\bruch{y}{x-y}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{x*y-X*Y}{x*y}=\epsilon_x[/mm] +
> [mm]\epsilon_y-\epsilon_x\epsilon_y[/mm]
>
>
> d)
> [mm]\bruch{x/y-X/Y}{x/y}=\epsilon_x-\epsilon_y+\bruch{\epsilon_y}{1-\epsilon_y}(\epsilon_x -\epsilon_y)[/mm]
>
> So die a) hatte hier schon jemand gestellt, und unter der
> Voraussetzung, dass [mm]\tilde{x}[/mm][mm] =x*(1-\epsilon_x)[/mm] und
> [mm]\tilde{y}[/mm]= [mm]y*(1-\epsilon_y)[/mm] ist konnte ich die a) wunderbar
> lösen.
>
> Wenn ich aber für b) hingegen z.B. [mm]\tilde{x}[/mm][mm] =x*(1+\epsilon_x)[/mm]
> und analog für [mm]\tilde{y}[/mm] einsetze, wird es immer falsch.
Nun ja, wenn Du aber den Betrag vom Fehler nimmst,
dann stimmt es wieder.
>
> Und wie sollte ich am besten an die c) und d) drangehen?
Hier gilt das, was leduart schon geschrieben hat.
Rechne hier die Aufgaben stur durch mit
[mm]X=\tilde{x}[/mm][mm] =x*(1+\epsilon_x)[/mm]
[mm]Y=\tilde{y}[/mm][mm] =y*(1+\epsilon_y)[/mm]
>
> Freue mich über jeden Tipp.
>
> Vielen Dank im Voraus für Eure Mühen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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