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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Fr 21.12.2007 | | Autor: | IG0R |
| Aufgabe | Zeigen sie, dass
x = [mm] \frac{2}{\pi} \int \limits_0^y exp(t^2) [/mm] dt
für x [mm] \in \mathds{R} [/mm] eine eindeutig bestimmte Lösung y = y(x) hat. |
Also spontan hatte ich erstmal gedacht, dass ich mir da eine Stammfunktion suche und dann die Grenzen als 0 und y(x) setze, aber da komme ich nur auf die Fehlerfunktion und die bringt mir da nicht wirklich was. Eine zweite Idee war, dass ich beide Seiten ableite, aber bringt das was?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du kannst x als Funktion von y ansehen, also x=x(y). Um nun die Behauptung zu Zeigen, kannst du einfach die Bijektivität von x Zeigen:
Injektivität:
Für die Ableitung von x(y) nach y gilt nach dem Hauptsatz:
[mm] x´(y)=\bruch{2}{\pi}exp(y²)>0,
[/mm]
also ist die Funktion streng monoton wachsend und damit injektiv.
Surjektivität:
Für y gegen plus oder minus unendlich geht x(y) ebenfalls gegen plus oder minus unendlich (das kannst du ganz einfach abschätzen). Weil x(y) nach dem Hauptsatz differenzierbar und somit stetig ist, folgt die Behauptung aus dem Zwischenwertsatz.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Fr 21.12.2007 | | Autor: | IG0R |
Achso. Das macht natürlich Sinn.
Ich weiß auch nicht wie ich auf die Idee kam, dass ich für den Beweis die Lösung ausrechnen müsste.
Vielen Dank nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
leider hab ich noch nicht so ganz verstanden wie ich das abschätzen soll.
Wegen dem x² bekomm ich das nicht geregelt.
Mit welcher Funktion muss ich denn hier genau abschätzen??
Mir fiel nur [mm] e^x [/mm] + x ein, das geht aber doch nicht, weil die Funktion ja kleiner ist als [mm] e^x², [/mm] oder geht das doch???
Wär super, wenn mir jemand damit helfen könnte. Ich seh das echt nicht. Hab da wahrscheinlich ein dickes Brett vor'm Kopf.
Danke schonmal, Murx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 02.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst ganz einfach mit ner Konstanten abschätzen! wenn das Integral über ne kleinere fkt schon gegen [mm] \infty [/mm] geht, dann erst recht das andere!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo,
Mit einer Konstanten abschätzen ist schon OK, wenn ich den Fall [mm] +\infty [/mm] betrachte. Das hab ich soweit verstanden.
Aber für [mm] -\infty [/mm] geht das doch nicht! [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} (e^x² [/mm] +c) geht doch nicht gegen [mm] -\infty. [/mm]
Wie mach ich denn dann die Abschätzung für den negativen Fall??? Das versteh ich nicht.
Für nochmal ein wenig Hilfe wär ich echt dankbar. Murx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mi 02.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht doch nicht x gegen [mm] \infty, [/mm] sondern die Grenze des Integrals (y)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo nochmal,
leider hab ich das immer noch nicht verstanden.
Ich weiß, dass ich den limes für y gegen - und + [mm] \infty [/mm] von x(y) betrachten muss.
Leider verstehe ich aber nicht, warum
[mm] \limes_{y\rightarrow-\infty} \integral_{0}^{-\infty}{e^t² +c dt}
[/mm]
angeblich gegen [mm] -\infty [/mm] laufen soll.
Oder hab ich da irgendwas falsch verstanden?? Das Quadrat macht es doch immer wieder positiv. Wie kann denn da [mm] -\infty [/mm] bei rauskommen??
Ich bitte nochmals darum, mir ein wenig auf die Sprünge zu helfen.
DANKE, Murx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mi 02.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das liegt an der Reihenfolge der Grenze. [mm] e^{x^2} [/mm] ist sym. zu 0 und
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=-\integral_{b}^{a}{f(x) dx}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Murx |
Hallo Leduart,
Danke dir. Jetzt hab ich's auch endlich verstanden.
Bis dann, Murx
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