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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 09.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Welche Änderung [mm] $\Delta\alpha$ [/mm] (in Grad) erfährt annähernd der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die Ankathete $b$ und die Hypotenuse $c$ um kleine Werte verändert werden.
Berechnen Sie den exakten Wert und den genäherten Wert für [mm] $\Delta\alpha$, [/mm] wenn die Ankathete $b=28m$ um 5 cm vergrößtert und die Hypotenuse $c=35m$ um 10 cm verkleinert wird. |
Vorab möchte ich mich dafür entschuldigen, wenn ich in das falsche Unterforum poste, allerdings wusste ich nicht wohin sonst dieses Thema soll.
Ich habe folgendes gerechnet, allerdings denke ich dass das falsch ist.
Vielleicht könnt ihr euch das mal anschauen und mir sagen wie ich die Aufgabe richtig angehe.
$ [mm] cos(\alpha)=\bruch{b}{c} [/mm] $
$ [mm] \alpha=arccos(\bruch{b}{c}) [/mm] $
$ [mm] \alpha=arccos(\bruch{28}{35})=36,87° [/mm] $
$ [mm] \alpha(b;c)=arccos(\bruch{b}{c}) [/mm] $
Nun bilde ich die beiden partiellen Ableitungen:
$ [mm] \alpha_b=-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{b^2}{c^2}}}\cdot{}\bruch{1}{c} [/mm] $
$ [mm] \alpha_b(b=28;c=35)=-\bruch{1}{21} [/mm] $
$ [mm] \alpha_c=-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{b^2}{c^2}}}\cdot{}\bruch{1}{b} [/mm] $
$ [mm] \alpha_c(b=28;c=35)=-\bruch{5}{84} [/mm] $
Und jetzt die Formel für die Standardabweichung (Gauß'sches Fortpflanzungsgesetz):
[mm] $\Delta\alpha$=\wurzel{(\alpha_b\cdot{}\Delta b)^2 + (\alpha_c\cdot{}\Delta c)^2}$ [/mm]
[mm] $\Delta\alpha=6,41091*10^{-3}$
[/mm]
Dieser Wert müsste sich aus Dimensionsgründen im Bogenmaß befinden.
Umgerechnet in Grad würde es folgendes ergeben:
[mm] $\Delta\alpha=0,367°$
[/mm]
Und irgendwie scheint mir dieser Wert viel zu klein.
Wo genau liegt mein Fehler? Oder ist der komplette Ansatz falsch?
Liebe Grüße
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Hallo bOernY,
> Welche Änderung [mm]\Delta\alpha[/mm] (in Grad) erfährt annähernd
> der Winkel [mm]\alpha[/mm] eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die
> Ankathete [mm]b[/mm] und die Hypotenuse [mm]c[/mm] um kleine Werte verändert
> werden.
> Berechnen Sie den exakten Wert und den genäherten Wert
> für [mm]\Delta\alpha[/mm], wenn die Ankathete [mm]b=28m[/mm] um 5 cm
> vergrößtert und die Hypotenuse [mm]c=35m[/mm] um 10 cm verkleinert
> wird.
> Vorab möchte ich mich dafür entschuldigen, wenn ich in
> das falsche Unterforum poste, allerdings wusste ich nicht
> wohin sonst dieses Thema soll.
>
> Ich habe folgendes gerechnet, allerdings denke ich dass das
> falsch ist.
> Vielleicht könnt ihr euch das mal anschauen und mir sagen
> wie ich die Aufgabe richtig angehe.
>
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{b}{c}[/mm]
> [mm]\alpha=arccos(\bruch{b}{c})[/mm]
> [mm]\alpha=arccos(\bruch{28}{35})=36,87°[/mm]
>
> [mm]\alpha(b;c)=arccos(\bruch{b}{c})[/mm]
>
> Nun bilde ich die beiden partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\alpha_b=-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{b^2}{c^2}}}\cdot{}\bruch{1}{c}[/mm]
> [mm]\alpha_b(b=28;c=35)=-\bruch{1}{21}[/mm]
>
> [mm]\alpha_c=-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{b^2}{c^2}}}\cdot{}\bruch{1}{b}[/mm]
Diese partielle Ableitung stimmt nicht.
> [mm]\alpha_c(b=28;c=35)=-\bruch{5}{84}[/mm]
>
> Und jetzt die Formel für die Standardabweichung
> (Gauß'sches Fortpflanzungsgesetz):
>
> [mm]$\Delta\alpha$=\wurzel{(\alpha_b\cdot{}\Delta b)^2 + (\alpha_c\cdot{}\Delta c)^2}$[/mm]
>
> [mm]\Delta\alpha=6,41091*10^{-3}[/mm]
>
> Dieser Wert müsste sich aus Dimensionsgründen im
> Bogenmaß befinden.
Ist auch so.
> Umgerechnet in Grad würde es folgendes ergeben:
> [mm]\Delta\alpha=0,367°[/mm]
>
> Und irgendwie scheint mir dieser Wert viel zu klein.
> Wo genau liegt mein Fehler? Oder ist der komplette Ansatz
> falsch?
>
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 09.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Ah du hast recht. Tut mir leid.
Die richtige partielle Ableitung lautet:
$ [mm] \alpha_c=-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{b^2}{c^2}}}\cdot{}-\bruch{b}{c^2} [/mm] $
$ [mm] \alpha_c(b=28;c=35)=-\bruch{4}{105} [/mm] $
$ [mm] \Delta\alpha=4,49237*10^{-3}$
[/mm]
Umgerechnet in Grad
$ [mm] \Delta\alpha= [/mm] 0,257$
Dies ist dann sogar noch weniger...
Irgendwas muss hier doch faul sein, oder nicht?
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Hallo bOernY,
> Ah du hast recht. Tut mir leid.
>
> Die richtige partielle Ableitung lautet:
>
> [mm]\alpha_c=-\bruch{1}{\wurzel{1-\bruch{b^2}{c^2}}}\cdot{}-\bruch{b}{c^2}[/mm]
> [mm]\alpha_c(b=28;c=35)=-\bruch{4}{105}[/mm]
Das muss doch hier positiv sein.
>
> [mm]\Delta\alpha=4,49237*10^{-3}[/mm]
> Umgerechnet in Grad
> [mm]\Delta\alpha= 0,257[/mm]
>
> Dies ist dann sogar noch weniger...
> Irgendwas muss hier doch faul sein, oder nicht?
Ja, das ist leider die falsche Formel.
Eine der beiden Formeln kannst Du verwenden:
[mm]\Delta \alpha=\bruch{\partial f\left(b,c\right)}{\partial b}\left(b,c\right)* \Delta b +\bruch{\partial f\left(b,c\right)}{\partial c}\left(b,c\right) * \Delta c[/mm]
Oder:
[mm]\Delta \alpha=\vmat{\bruch{\partial f\left(b,c\right)}{\partial b}\left(b,c\right)* \Delta b} +\vmat{\bruch{\partial f\left(b,c\right)}{\partial c}\left(b,c\right) * \Delta c}[/mm]
Um zu verhindern, daß sich die Fehler
[mm]\bruch{\partial f\left(b,c\right)}{\partial b}\left(b,c\right)* \Delta b [/mm]
und
[mm]\bruch{\partial f\left(b,c\right)}{\partial c}\left(b,c\right)* \Delta c [/mm]
gegenseitig aufheben, ist die zuletzt angegebene Formel besser geeignet.
Gruss
MathePower
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