Fehlerschrankensatz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Das Volumen [mm] V=\pi*r^2*h [/mm] eines Zylinders soll bestimmt werden, indem seine Höhe h und sein Radius r gemessen werden. Es ergibt sich h=11,2 cm, r=3,7 cm. Leider ist die Messung nur bis auf einen Millimeter genau.
Berechnen Sie das gemessene Volumen und geben Sie die Fehlerschranke an, die sich für diesen Wert aus dem Fehlerschrankensatz ergibt. Geben Sie hiermit ein Intervall an, in dem das reale Volumen des Zylinders liegt. |
Hallo, ich komm bei der Aufgabe nicht weiter:( Also ich hab die Gleichung erst einmal als Funktion definiert mit V(r,h)= [mm] \pi*r^2*h. [/mm] So und jetzt habe ich die partiellen Ableitungen gebildet: [mm] \bruch{\partial V}{\partial r}=2*\pi*h*r [/mm] und [mm] \bruch{\partial V}{\partial h}=\pi*r^2. [/mm] Aber wie mach ich jetzt weiter?:O
Gruß David
|
|
| |
|
Hallo David90,
> Das Volumen [mm]V=\pi*r^2*h[/mm] eines Zylinders soll bestimmt
> werden, indem seine Höhe h und sein Radius r gemessen
> werden. Es ergibt sich h=11,2 cm, r=3,7 cm. Leider ist die
> Messung nur bis auf einen Millimeter genau.
> Berechnen Sie das gemessene Volumen und geben Sie die
> Fehlerschranke an, die sich für diesen Wert aus dem
> Fehlerschrankensatz ergibt. Geben Sie hiermit ein Intervall
> an, in dem das reale Volumen des Zylinders liegt.
> Hallo, ich komm bei der Aufgabe nicht weiter:( Also ich
> hab die Gleichung erst einmal als Funktion definiert mit
> V(r,h)= [mm]\pi*r^2*h.[/mm] So und jetzt habe ich die partiellen
> Ableitungen gebildet: [mm]\bruch{\partial V}{\partial r}=2*\pi*h*r[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial V}{\partial h}=\pi*r^2.[/mm] Aber wie mach
> ich jetzt weiter?:O
Jetzt musst Du diese partiellen Ableitungen
betragsmäßig geeignet abschätzen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
da weiß ich immer nicht wie ich das machen soll :( etwa so: [mm] |\bruch{\partial V}{\partial r}| \le [/mm] 3,8 und [mm] |\bruch{\partial V}{\partial h}| \le [/mm] 11,3 ?:O
Gruß David
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> da weiß ich immer nicht wie ich das machen soll :( etwa
> so: [mm]|\bruch{\partial V}{\partial r}| \le[/mm] 3,8 und
> [mm]|\bruch{\partial V}{\partial h}| \le[/mm] 11,3 ?:O
Nicht in der Weltgeschichte rumraten !
Wir machen das mal jetzt so: Du schreibst Euren Fehlerschrankensatz hier mal rein. Dann sehen wir weiter.
FRED
> Gruß David
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
Naja geraten war das nur teilweise...dachte weil im text steht bis auf einen millimeter genau und da dachte ich den millimeter muss man auf die gemessenen größen draufrechnen... der satz ist: f: D [mm] \to \IR [/mm] diff'bar, [mm] \vec{x} \in [/mm] D, [mm] \vec{x}+t\Delta\vec{x} \in [/mm] D für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1und [mm] \vec{z} [/mm] auf der Verbindungsstrecke zwischen [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \Delta\vec{x}:
[/mm]
| [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_{j}} (\vec{z}) [/mm] | [mm] \le M_{j} [/mm] für j=1,...,n dann gilt: [mm] |\Delta [/mm] f|=| [mm] f(\vec{x}+\Delta\vec{x})+f(\vec{x}) [/mm] | [mm] \le \summe_{j=1}^{n} M_{j} [/mm] | [mm] \Delta x_{j}
[/mm]
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David90,
> Naja geraten war das nur teilweise...dachte weil im text
> steht bis auf einen millimeter genau und da dachte ich den
> millimeter muss man auf die gemessenen größen
> draufrechnen... der satz ist: f: D [mm]\to \IR[/mm] diff'bar,
> [mm]\vec{x} \in[/mm] D, [mm]\vec{x}+t\Delta\vec{x} \in[/mm] D für 0 [mm]\le[/mm] t
> [mm]\le[/mm] 1und [mm]\vec{z}[/mm] auf der Verbindungsstrecke zwischen
> [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]\Delta\vec{x}:[/mm]
> | [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_{j}} (\vec{z})[/mm] | [mm]\le M_{j}[/mm]
> für j=1,...,n dann gilt: [mm]|\Delta[/mm] f|=|
> [mm]f(\vec{x}+\Delta\vec{x})+f(\vec{x})[/mm] | [mm]\le \summe_{j=1}^{n} M_{j}[/mm]
> | [mm]\Delta x_{j}[/mm]
Setze jetzt für [mm]\vec{x}[/mm] die gemessenen Werte ein,
und für [mm]\Delta\vec{x}[/mm] die enstpechenden Abweichungen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
ich versteh die Formel nicht :( also die Funktion f ist halt in meinem beispiel V und nach der Formel würde das bei der Höhe ja so lauten: V(11,2+0,1)+V(11,2) [mm] \le [/mm] ... aber was ist denn jetzt das M?:(
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David90,
> ich versteh die Formel nicht :( also die Funktion f ist
> halt in meinem beispiel V und nach der Formel würde das
> bei der Höhe ja so lauten: V(11,2+0,1)+V(11,2) [mm]\le[/mm] ...
> aber was ist denn jetzt das M?:(
Das steht doch alles in dem Satz, den Du uns mitgeteilt hast.
Im Übrigen muß es in diesem Satz doch wohl heißen:
[mm]|\Delta f|=| f(\vec{x}+\Delta\vec{x})\blue{-}f(\vec{x}) |[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
so: | [mm] \Delta [/mm] f | = | f(11,3 ; 3,8) - f(11,2 ; 3,7) | ?
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David90,
> so: | [mm]\Delta[/mm] f | = | f(11,3 ; 3,8) - f(11,2 ; 3,7) | ?
Zum Beispiel.
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
wieso zum Beispiel?gibts denn mehrere Möglichkeiten?^^ also dann steht da: [mm] \Delta [/mm] f= | 163,172 [mm] \pi [/mm] - 153,328 [mm] \pi [/mm] | = | 9,844 [mm] \pi [/mm] | Bin ich jetzt fertig?:O
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David90,
> wieso zum Beispiel?gibts denn mehrere Möglichkeiten?^^
> also dann steht da: [mm]\Delta[/mm] f= | 163,172 [mm]\pi[/mm] - 153,328 [mm]\pi[/mm] |
> = | 9,844 [mm]\pi[/mm] | Bin ich jetzt fertig?:O
Nein.
Nach dem Fehlerschrankensatz musst Du diese Differenz abschätzen,
d.h. die entrsprechenden partiellen Ableitungen sind in diesem
Intervall durch ihr betragsmäßiges Maximum abzuschätzen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
Meinst du so: [mm] 2\pi*h*r \le [/mm] 9,844 [mm] \pi, [/mm] also [mm] \pi*h*r \le [/mm] 9,844 und [mm] r^2 \le [/mm] 9,844 ?
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David90,
> Meinst du so: [mm]2\pi*h*r \le[/mm] 9,844 [mm]\pi,[/mm] also [mm]\pi*h*r \le[/mm]
> 9,844 und [mm]r^2 \le[/mm] 9,844 ?
Nein.
Schätze die partielle Ableitungen durch ihr
Maximum in den gegebenen Grenzen ab:
[mm]\vmat{2*\pi*r*h} \le \vmat{2*\pi*r_{max}*h_{max}}[/mm]
,wobei [mm]r_{max}[/mm] der größte Wert für r und
[mm]h_{max}[/mm] der größte Wert für h ist.
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
also [mm] r_{max} [/mm] sind doch 3,8 und [mm] h_{max}=11,3 [/mm] oder? Also die Aweichung draufgerechnet denk ich mal..
Gruß David
|
|
|
| |
|
Hallo David90,
> also [mm]r_{max}[/mm] sind doch 3,8 und [mm]h_{max}=11,3[/mm] oder? Also die
> Aweichung draufgerechnet denk ich mal..
Siehr dazu diese Antwort
> Gruß David
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 14.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi David,
nochmal zusammengefasst.
[mm] V(r,h)=r^2*\pi*h
[/mm]
[mm] \Delta{r}=0.1 [/mm] und [mm] \Delta{h}=0.1
[/mm]
[mm] |\Delta{V}|=|V(r+\Delta{r},h+\Delta{h})-V(r,h)|
[/mm]
Taylorreihenentwicklung ergibt
[mm] V(r+\Delta{r},h+\Delta{h})=V(r,h)+\bruch{\partial{V(\overline{r},\overline{h})}}{\partial{r}}*\Delta{r}+\bruch{\partial{V(\overline{r},\overline{h})}}{\partial{h}}*\Delta{h}
[/mm]
mit [mm] \overline{r}\in[r,r+\Delta{r}] [/mm] und [mm] \overline{h}\in[h,h+\Delta{h}]
[/mm]
Also gilt [mm] |\Delta{V}|\le\left|\bruch{\partial{V(\overline{r},\overline{h})}}{\partial{r}}\right|*\Delta{r}+\left|\bruch{\partial{V(\overline{r},\overline{h})}}{\partial{h}}\right|*\Delta{h}
[/mm]
Die partiellen Ableitungen werden am grössten für [mm] \overline{r}=r+\Delta{r} [/mm] und [mm] \overline{h}=h+\Delta{h}
[/mm]
Also gilt
[mm] |\Delta{V}|\le\left|\bruch{\partial{V(r+\Delta{r},h+\Delta{h})}}{\partial{r}}\right|*\Delta{r}+\left|\bruch{\partial{V(r+\Delta{r},h+\Delta{h})}}{\partial{h}}\right|*\Delta{h}
[/mm]
Einsetzen und ausrechnen ergibt [mm] |\Delta{V}|\le{31.516}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Mo 14.03.2011 | | Autor: | David90 |
jaaa genau mit der Taylorentwicklung:) sowas hat unser Tutor glaub ich auch im Tutorium erwähnt....damit ist die Aufgabe gelöst oder?
Gruß David
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Di 15.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja wenn Du alles verstanden hast und nicht nur abschreibst, ja.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Di 15.03.2011 | | Autor: | David90 |
ja denke schon:) eine Frage hab ich noch: wenn man das in die letzte Gleichung einsetzt benutzt man ja die parrtiellen Ableitungen und da setzt man für r=3,8 und für h=11,3 ein oder?:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Di 15.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi David,
nein, r=3.7 und h=11.2
|
|
|
|
