Fehlerwahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Di 14.03.2006 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | | In einer Werkstatt werden Schalter zusammengebaut. 40% aller Schalter montiert Person A. In der Regel arbeiten 90% der Schalter von A einwandfrei. Die Werkstatt liefert zu 95% einwandfreie Schalter. ein der Produktion zufällig entnommener Schalter wird geprüft und erweißt sich als fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat A ihn zusammengebaut. |
Hy!
Also díe Wahrscheinlichkeit dass A seine Schalter richtig baut liegt bei 90%. Da er 40% der Schalter der Firma baut sind insgesammt 4% die die Firma falsch produziert von ihm.
Da die Firma aber insgesammt nur zu 5 % flasch produziert bleibt praktisch noch 1% übrig. damit läge die Wahrscheinlichkeit, dass der defekte Schalter von ihm ist bei 20%.
Liege ich da richtig?
Danke für eure Hilfe und noch einen schönen Abend!
ONeill
|
|
| |
|
Hallo und guten Morgen,
also schauen wir mal.
Sei S die Menge der Schalter, A die Menge der von A gebauten Schalter, F die Menge der fehlerhaften Schalter und
[mm] A_f [/mm] die Menge der von A fehlerhaft gebauten Schalter.
Dann gilt
[mm] |A|=\frac{4}{10}\cdot |S|=\frac{2}{5}\cdot [/mm] |S|
[mm] |A_f| =\frac{1}{10}\cdot \frac{4}{10}\cdot |S|=\frac{1}{25}\cdot [/mm] |S|
[mm] |F|=\frac{1}{20}\cdot [/mm] |S|
und [mm] A_f\subseteq [/mm] F, also
[mm] |A_f| [/mm] = [mm] \frac{1}{25}\cdot [/mm] |S| = [mm] \frac{1}{25}\cdot 20\cdot [/mm] |F| = [mm] \frac{20}{25}\cdot [/mm] |F|
d.h. A baut 80% aller fehlerhaftern Schalter.
Wenn wir also einen fehlerhaften Schalter haben, ist dieser mit 80 % Wahrscheinlichkeit von A gebaut.
Wenn wir einen Schalter haben, ist dieser mit 4% ein von A fehlerhaft gebauter Schalter.
Klar soweit ?
(Die Zahl 1% kommt dabei nicht vor.)
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 15.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo ONeill,
> Also díe Wahrscheinlichkeit dass A seine Schalter richtig
> baut liegt bei 90%. Da er 40% der Schalter der Firma baut
> sind insgesammt 4% die die Firma falsch produziert von
> ihm.
> Da die Firma aber insgesammt nur zu 5 % flasch produziert
> bleibt praktisch noch 1% übrig. damit läge die
> Wahrscheinlichkeit, dass der defekte Schalter von ihm ist
> bei 20%.
Kleiner Fehler:
Von den 5% falschen Teilen, die die Firma produziert, sind 4 Prozentpunkte von A. Also ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{4}{5}=80$%
[/mm]
Allgemein (mathematischer  ) kannst du, ergänzend zu der Antwort von Mathias, auch mit der Formel von Bayes bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten an das Problem herangehen:
Nennen wir das Ereignis, dass A einen beliebigen Schalter produziert einfach [mm]A[/mm].
Weiterhin nennen wir das Ereignis, dass ein Schalter defekt ist, [mm]B[/mm].
Anmerkung: Für diese Situation kannst du dir ein schönes Baumdiagramm zeichnen: Als ersten Schritt hast du die verzweigungen [mm]A[/mm] und [mm]A^C[/mm], im zweiten die jeweils Verzweigungen [mm]B[/mm] und [mm]B^C[/mm].
Gegeben hast du also:
[mm]P(A)=0,4[/mm]
[mm]P(B\mid A)=0,1[/mm]
[mm]P(B)=0,05[/mm]
Nun ist gesucht: [mm]P(A\mid B)[/mm].
Lösung:
Es gilt nach der Definition der bedingten Erwartung:
[mm]P(A\mid B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}=\bruch{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}[/mm]
Das ist auch die ![[]](/images/popup.gif) Formel von Bayes.
Also:
[mm]P(A\mid B)=\bruch{0,1 \cdot 0,4}{0,05}=0,8[/mm]
Alles klar? Das ist nichts anderes, als du schon gemacht hast, nur korrekt aufgeschrieben. Manchmal reicht der Verstand allein nämlich nicht aus, da braucht mal auch mal mathematische Formeln. 
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
|
