Fermi-Verteilung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Do 19.06.2014 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich sitze gerade an der Herleitung des Tunnelstromes am STM und komme bei einem Zwischenschritt nicht weiter.
Der Tunnelstrom ist
[mm] I=\frac{2{\pi}e}{\hbar}\sum_{\mu,\nu}\left(f(E_{\mu})[1-f(E_{\nu}+eU)]-f(E_{\nu}+eU)[1-f(E_{\mu})]\right)\left|M_{\mu\nu}\right|^{2}\delta(E_{\nu}-E_{\mu})
[/mm]
wobei f die Fermi-Verteilung, U die angelegte Spannung zwischen Probe und Spitze ist. Für kleine Spannungen und Temperaturen [mm] (T{\rightarrow}0 [/mm] und [mm] U{\rightarrow}0) [/mm] geht die Fermi-Verteilung in eine Stufenfunktion über.
Man erhält
[mm] I=\frac{2{\pi}e^{2}}{\hbar}U\sum_{\mu,\nu}\left|M_{\mu\nu}\right|^{2}\delta(E_{\mu}-E_{F})\delta(E_{\nu}-E_{F})
[/mm]
Das ist alles soweit klar. Das einzige, was ich nicht nachvollziehen kann, ist die Herkunft von eU. Der entstammt ja der Fermi-Verteilung. Wieso kann er rausgezogen werden?
Viele Grüße
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Di 24.06.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo volk!
> ich sitze gerade an der Herleitung des Tunnelstromes am
> STM und komme bei einem Zwischenschritt nicht weiter.
>
> Der Tunnelstrom ist
>
> [mm]I=\frac{2{\pi}e}{\hbar}\sum_{\mu,\nu}\left(f(E_{\mu})[1-f(E_{\nu}+eU)]-f(E_{\nu}+eU)[1-f(E_{\mu})]\right)\left|M_{\mu\nu}\right|^{2}\delta(E_{\nu}-E_{\mu})[/mm]
>
> wobei f die Fermi-Verteilung, U die angelegte Spannung
> zwischen Probe und Spitze ist.
Ich bin mir nicht sicher, aber hast du nicht an einer Stelle [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] vertauscht?
> Für kleine Spannungen und
> Temperaturen [mm](T{\rightarrow}0[/mm] und [mm]U{\rightarrow}0)[/mm] geht die
> Fermi-Verteilung in eine Stufenfunktion über.
>
> Man erhält
>
> [mm]I=\frac{2{\pi}e^{2}}{\hbar}U\sum_{\mu,\nu}\left|M_{\mu\nu}\right|^{2}\delta(E_{\mu}-E_{F})\delta(E_{\nu}-E_{F})[/mm]
>
> Das ist alles soweit klar. Das einzige, was ich nicht
> nachvollziehen kann, ist die Herkunft von eU. Der entstammt
> ja der Fermi-Verteilung. Wieso kann er rausgezogen werden?
Das ist die lineare Näherung für kleine U:
[mm] f(E+eU) \approx f(E) + eU f'(E) [/mm],
und wenn du für kleine T die Fermiverteilung durch die Stufenfunktion approximierst:
[mm] f(E) \approx \Theta(E_F-E) [/mm]
ergibt sich für kleine U und T:
[mm] f(E+eU) \approx \Theta(E_F-E) + eU \Theta'(E_F-E) = \Theta(E_F-E) -eU \delta(E_F-E) = \Theta(E_F-E) -eU \delta(E-E_F) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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