Fibonacci-Folge vollst. Indukt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die rekursiv definierte Folge [mm] u_{k+2}=u_{k+1}+u_{k}, k\in\IN [/mm] mit dem Rekursionsanfang [mm] u_{0}=0 [/mm] und [mm] u_{1}=1. [/mm] Die Folge [mm] (u_{k},k\in\IN [/mm] heißt Fibonacci-Folge.
a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für beliebige natürliche Zahlen m,n gilt:
[mm] u_{n+m}=u_{n-1} \times u_{m}+u_{n} \times u_{m+1}
[/mm]
b) Untersuchen Sie, ob die Menge der Fibonacci-Folgenglieder [mm] {u_{k}, k \in\IN} [/mm] ein Supremum und/oder ein Infimum besitzt. |
Erst einmal habe ich die Aufgabe bereits in einem anderen Forum vorgestellt, bisher konnte mir jedoch leider keiner helfen:http://www.onlinemathe.de/forum/Vollstaendige-Induktion-bei-Fibonacci-Folge
Erst einmal habe ich immer noch Probleme bei der vollständigen Induktion, insbesondere darin einen Anfang zu finden und deshalb hoffe ich dass mir jemand helfen kann.
In der Vorlesung hatten wir eine Bsp.-Aufgabe, die allerdings wesentlich einfacher gestrickt war.
Wie handhabe ich im Falle einer vollständigen Induktion 1.)die Variable im Index und 2.)zwei Variablen im Index ? Ist mir völlig unklar.
Wie fange ich hier mit einer vollständigen Induktion an?
Danke schonmal im Voraus.
Katharina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Führe Deine Induktion über $n$ mit Induktionsanfang $n=1$ und Induktionsschritt [mm] $n\longrightarrow [/mm] n+1$ und lasse [mm] $m\in\IN$ [/mm] beliebig. Ich bin mir nicht sicher, aber vielleicht musst Du das analog zusätzlich für $m$ machen, d.h. lasse [mm] $n\in\IN$ [/mm] fest aber beliebig und führe eine Induktion über $m$ mit Induktionsanfang $m=1$ und Induktionsschritt [mm] $m\longrightarrow [/mm] m+1$.
Gruß
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| Aufgabe | Gegeben sei die rekursiv definierte Folge $ [mm] u_{k+2}=u_{k+1}+u_{k}, k\in\IN [/mm] $ mit dem Rekursionsanfang $ [mm] u_{0}=0 [/mm] $ und $ [mm] u_{1}=1. [/mm] $ Die Folge $ [mm] (u_{k},k\in\IN [/mm] $ heißt Fibonacci-Folge.
a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für beliebige natürliche Zahlen m,n gilt:
$ [mm] u_{n+m}=u_{n-1} \times u_{m}+u_{n} \times u_{m+1} [/mm] $
b) Untersuchen Sie, ob die Menge der Fibonacci-Folgenglieder $ [mm] {u_{k}, k \in\IN} [/mm] $ ein Supremum und/oder ein Infimum besitzt. |
Induktionsannahme: [mm] u_{n+m}=u_{n-1} \times u_{m}+u_{n} \times u_{m+1}
[/mm]
Induktionsbehauptung: gilt für alle [mm] n,m\in\IN
[/mm]
Induktionsanfang: n=1 und m=1, muss ich das dann gleichzeitig machen?
wenn ja, käme ich auf:
[mm] u_{n+m}=u_{n-1} \times u_{m}+u_{n} \times u_{m+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{1+1}=u_{1-1} \times u_{1}+u_{1} \times u_{1+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{2}=u_{0} \times u_{1}+u_{1} \times u_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{2}=u_{1} \times u_{2}
[/mm]
wenn ich jetzt davon ausgehe, dass [mm] u_{0} [/mm] wie in der Aufgabenstellung angegeben =0, ist und [mm] u_{1}=1, [/mm] dann hätte ich das Ergebnis [mm] u_{2}=u_{2} [/mm] - damit wäre das wahr!
Aber was dann?
Induktionsschritt: [mm] n\ton+1 [/mm] und [mm] m\tom+1 [/mm] ist mir klar - ist irgendwie immer so. Was mir nicht klar ist: wie setz ich das ein und forme das um?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Induktion ueber n mit m=1 ist ganz leicht.
ein einziger Schritt und es steht da, deshalb kannst due auch 1,1 ganz weglassen und direkt mit n,1 anfangen.
Wenn du das hast musst du nur noch von n,m nach n,m+1 ne Induktion machen.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
erst mal danke für den Hinweis, nur hat mich das verwirrt und ich habs leider nicht so ganz verstanden.
Ich soll also zwei Induktionsbeweise führen?
für m=1
[mm] u_{n+1}=u_{n-1} \times u_{1} [/mm] + [mm] u_{n} \times u_{1+1}
[/mm]
[mm] u_{n+1}=u_{n-1} \times [/mm] 1 + [mm] u_{n} \times u_{2}
[/mm]
Mit dem [mm] u_{2} [/mm] kann ich aber nicht wirklich was anfangen, da ich nicht weiß, was [mm] u_{2} [/mm] ist?
Wenn ich hingegen mit n=1 beginne, folgt:
[mm] u_{1+m}= u_{1-1} \times u_{m} [/mm] + [mm] u_{1} \times u_{m+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{1+m}= u_{0} \times u_{m} [/mm] + [mm] u_{1} \times u_{m+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{1+m}= [/mm] 0 [mm] \times u_{m} [/mm] + 1 [mm] \times u_{m+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u_{1+m}= u_{m+1}
[/mm]
Kann ich dann mit der vollständigen Induktion über m [mm] \to [/mm] m+1 fortfahren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kennst u2, weil du u1 und [mm] u_0 [/mm] kennst !
Aber du kannst auch wie dus gezeigt hast anfangen.
Welcher Weg einfacher ist, seh ich grad nicht.
Gruss leduart
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Danke!
Aber was ist denn [mm] u_{2}? [/mm] Vielleicht bin ich schwer von Begriff aber es kann ja nur entweder auch 1 oder aber 2 sein.
Ansonsten wüsst ich das jetzt nicht.
Gruß Katharina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 26.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] u_2=u_0+u_1=0+1=1
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 26.11.2008 | | Autor: | anjali251 |
Vielen, vielen Dank - manchmal hat man ein Brett vorm Kopf 
Ich mach damit jetzt weiter und hoffe ich kriegs hin
Katharina
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