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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Fibonacci-Zahlen
Fibonacci-Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fibonacci-Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mi 04.05.2011
Autor: janhitt85

Aufgabe
Beweisen Sie, für alle n [mm] \in \IN [/mm] \ [mm] \{0,1\} [/mm]

[mm] F_{n} \ge (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm]

Hallo zusammen,

ich bräuchte Hilfe bei der genannten Aufgabe.

Man kann das doch bestimmt mittels Induktion beweisen. Dann wäre der Induktionsanfang mit n=2.

Muss ich [mm] F_{n} [/mm] durch eine Formel ersetzen?

Ich bitte um eure Hilfe.

Danke
Gruß
Jan

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fibonacci-Zahlen: explizite Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mi 04.05.2011
Autor: kamaleonti

Moin janhitt,
      [willkommenmr]!

> Beweisen Sie, für alle n [mm]\in \IN[/mm] \ [mm]\{0,1\}[/mm]
>  
> [mm]F_{n} \ge (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2}[/mm]
>  Hallo
> zusammen,
>  
> ich bräuchte Hilfe bei der genannten Aufgabe.
>  
> Man kann das doch bestimmt mittels Induktion beweisen. Dann
> wäre der Induktionsanfang mit n=2.
>  
> Muss ich [mm]F_{n}[/mm] durch eine Formel ersetzen?

Kennst du die explizite Bildungsvorschrift der Fibonaccifolge?
    [mm] F_n= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right] [/mm]

Der negative Term wird relativ schnell klein (wegschätzen!) und aus dem positiven kannst du [mm] \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^2 [/mm] ausgeklammern und damit kannst du zusätzlich das [mm] \frac1{\sqrt5} [/mm] wegschätzen.

Ich bin mir sicher, der Aufwand dazu ist nicht übermäßig hoch.

>  
> Ich bitte um eure Hilfe.
>  
> Danke
>  Gruß
>  Jan
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

LG

Bezug
                
Bezug
Fibonacci-Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Mi 04.05.2011
Autor: abakus


> Moin janhitt,
>        [willkommenmr]!
>  > Beweisen Sie, für alle n [mm]\in \IN[/mm] \ [mm]\{0,1\}[/mm]

>  >  
> > [mm]F_{n} \ge (\bruch{1 + \wurzel{5}}{2})^{n-2}[/mm]
>  >  Hallo
> > zusammen,
>  >  
> > ich bräuchte Hilfe bei der genannten Aufgabe.
>  >  
> > Man kann das doch bestimmt mittels Induktion beweisen. Dann
> > wäre der Induktionsanfang mit n=2.
>  >  
> > Muss ich [mm]F_{n}[/mm] durch eine Formel ersetzen?
>  Kennst du die explizite Bildungsvorschrift der
> Fibonaccifolge?
>      [mm]F_n= \frac1{\sqrt 5} \left[ \left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt 5}2\right)^n \right][/mm]
>  
> Der negative Term wird relativ schnell klein
> (wegschätzen!) und aus dem positiven kannst du
> [mm]\left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^2[/mm] ausgeklammern und damit
> kannst du zusätzlich das [mm]\frac1{\sqrt5}[/mm] wegschätzen.
>  
> Ich bin mir sicher, der Aufwand dazu ist nicht übermäßig
> hoch.

Hallo,
ich bin mir nicht sicher, dass die Kenntnis dieser Bildungsvorschrift vorausgesetzt wird. Für die Induktion wird [mm] F_{n+1} [/mm] auftauchen, und man wird hier sicher die "klassische" Definition [mm] F_{n+1}=F_n+F_{n-1} [/mm] benötigen. Da man dabei auf ZWEI vorhergehende Glieder zurückgreift, würde ich sicherheitshalber den Induktionsanfang nicht nur für n=2, sondern für n=2 und n=3 durchführen.
Gruß Abakus

>  >  
> > Ich bitte um eure Hilfe.
>  >  
> > Danke
>  >  Gruß
>  >  Jan
>  >  
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> LG


Bezug
        
Bezug
Fibonacci-Zahlen: rekursive Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Mi 04.05.2011
Autor: Loddar

Hallo Jan!


Alternativ kannst Du hier auch die "klassische" rekursive Formeldarstellung der Fibonacci-Zahlen verwenden:

[mm]F_n \ = \ F_{n-1}+F_{n-2}[/mm]  mit  [mm]F_0 \ = \ 0[/mm] und [mm]F_1 \ = \ 1[/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Fibonacci-Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Mi 04.05.2011
Autor: janhitt85

Super, ich danke euch für die Tipps.
Ich werde mich gleich mal an die Arbeit machen.

Besten Dank!
Jan

Bezug
                
Bezug
Fibonacci-Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:40 Do 05.05.2011
Autor: janhitt85

Damit komme ich dann auf folgendes:

[mm] F_{n+1} [/mm] = [mm] F_{n} [/mm] + [mm] F_{n-1} [/mm]

= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] + [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-3} [/mm]

= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] + [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1} [/mm]

jetzt ausklammern

= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm] + (1 + 1 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}) [/mm]

Es ist

(1 + 1 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}) [/mm] = [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm]

also:

[mm] F_{n+1} [/mm] =  [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-2} [/mm]  * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm]

= [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n-1} [/mm]

Nun habe ich aber eine Gleichheit und nicht [mm] \ge [/mm]

Und wie kann man zeigen, dass
1 + 1 * [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{-1}) [/mm] = [mm] (\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{1} [/mm]

Ich habe das einfach in den Taschenrechner eingetippt und es kam dasselbe heraus.

Danke & Gruß
Jan

Bezug
                        
Bezug
Fibonacci-Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Do 05.05.2011
Autor: Gonozal_IX

Hallo Jan,

dein erstes Gleichheitszeichen ist schonmal ein [mm] \ge [/mm] , womit sich dein Problem einer Gleichung erledigt hätte:

$1 + [mm] \left(\bruch{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{-1} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{2}{1+\sqrt{5}} [/mm] = [mm] \bruch{3 + \sqrt{5}}{1+ \sqrt{5}}$ [/mm]

Nun erweiter den Bruch mal mit $(1 - [mm] \sqrt{5})$ [/mm] und form ein bisschen um :-)

MFG,
Gono.

Bezug
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