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Fibonacci: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 So 14.11.2004
Autor: Nadja

Hallo

Wer kann helfen?

Betrachte die Folge von Fibonacci, die durch a0=a1=1 und
a(n+1)=a(n-1)+an definiert ist.
Zeigen Sie:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (a(n+1)/(an) = 1 + ( [mm] \wurzel{5})/2 [/mm]

( der goldene Schnitt )

Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge  a(2n+1)/a(2n) monoton fallend und die Folge a(2n)/a(2n-2) monoton steigend und beschränkt ist und berechnen Sie die beiden Grenzwerte.

Wie zeige ich das. Kann mir vielleicht jemand helfen.
Danke euch.

Nadja


Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.


        
Bezug
Fibonacci: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:41 Mo 15.11.2004
Autor: Holger81

Ich kenne zumindest jemanden, der dir dabei weiterhelfen könnte. Ich werd ihn mal drauf ansetzen.
Man kann es zumindest auch zeichnerisch herleiten, aber ich denke das ist nicht das, was du möchtest ;)

Bezug
        
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mo 15.11.2004
Autor: Julius

Liebe Nadja!

Du solltest einfach mal diesen Diskussionsstrang durcharbeiten. Dann sollte alles klar sein. :-)

Die Konvergenz wird zwar anders gezeigt als im Hinweis, aber ich denke mal ihr müsst den Hinweis ja nicht benutzen, sondern dürft es auch anders zeigen, oder? ;-)

Liebe Grüße
Julius

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Bezug
Fibonacci: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Mi 17.11.2004
Autor: Yellowbird

Ich habe die Aufgabe versucht mit dem angegebenen Hinweis zu lösen, aber ich weiß einfach nicht, wie ich den Grenzwert von a2n+1/a2n bzw von a2n/a2n-1  berechne??? Kann mir bitte jemand helfen, ich muss die Aufgaben morgen abgeben!!!

Bezug
                
Bezug
Fibonacci: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Do 18.11.2004
Autor: Julius

Hallo!

Also, wir haben ja:

(*)  [mm] $\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}} [/mm] = [mm] \frac{a_{2n} + a_{2n-1}}{a_{2n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + \frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}}}}$. [/mm]

Zu zeigen ist also:

[mm] $\frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}} \ge \frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}}}}$. [/mm]

Wir setzen $x:= [mm] \frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}}$ [/mm] und müssen

$x [mm] \ge \frac{1}{1 + \frac{1}{1+x}}$ [/mm]

zeigen, also:

$x + [mm] \frac{x}{1+x} \ge [/mm] 1$.

Dies ist aber offenbar für $x [mm] \ge [/mm] 1$ erfüllt, und es gilt ja: [mm] $\frac{a_{2n-1}}{a_{2n-2}} \ge [/mm] 1$.

Ähnlich zeigt man die zweite Behauptung.

Den Grenzwert $a$ erhält man dann durch Übergang zum Grenzwert in (*):

$a= [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + a}}$. [/mm]

Man erhält eine quadratische Gleichung, deren positive Lösung der gesuchte Grenzwert ist.

Liebe Grüße
Julius



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