Fibonacci Folge + Unterraum < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Mo 01.01.2007 | | Autor: | catull |
| Aufgabe | Die Fibonacci Folge [mm]\Phi_{i\in\mathbb{N}}[/mm] ist definiert durch [mm]\Phi_1 := \Phi_0 := 1[/mm] und [mm]\Phi_i := \Phi_{i-2} +\Phi_{i-1}[/mm] für alle [mm]i \ge 2[/mm]. Zeigen Sie:
1. Die Menge [mm]F[/mm] aller Folgen [mm]\left(a_n\right)_{n \in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\infty}[/mm], die für alle [mm]n \in\mathbb{N}[/mm] die Gleichung [mm]a_{n+2} =a_{n+1}+a_n[/mm] erfüllen, ist ein Untervektorraum von [mm]\mathbb{R}^{\infty}[/mm].
2. Die beiden Folgen in [mm]F[/mm] mit [mm]a_0 = 1[/mm] und [mm]a_1 = 0[/mm] bzw. mit [mm]a_0 = 0[/mm] und [mm]a_1 = 1[/mm] sind eine Basis von [mm]F[/mm].
3. [mm]F[/mm] enthält zwei Folgen der Form [mm]\left(\Phi^n\right)_{n \in\mathbb{N}}[/mm], und zwar diejenigen mit [mm]\Phi = \tfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/mm].
4. Die beiden Folgen in 3 sind ebenfalls eine Basis von [mm]F[/mm]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Als erstes möchte ich allen ein frohes Neues Jahr wünschen!!!!
Bis jetzt kam ich ziemlich gut mit allen Aufgaben in LA klar,aber, da ich die letzten zwei Wochen krank war habe ich einiges verpasst!
Deswegen bitte ich euch dringend um Hilfe!!
Ich könnte alle Tipps gebrauchen
Meine Lösungsansätze:
1. Hier müsste man meiner Meinung nach die Eigenschaften des Unterraumes nachweisen:
Die Nullfolge erfüllt auf jeden Fall die Gleichung , ich weiß allerdings nicht wie man das richtig aufschreiben oder beweisen kann. Damit wäre U1 erfüllt.
Wenn a0,a1,a2... und b0,b1,b2.... die Gleichung erfüllen dann auch a0 + b0, a1+b1 usw
allerdings weiß ich auch nicht wie man das hier allgemein beweisen kann.Die dritte Eigenschaft muss auch so ähnlich gehen
Bei dem Rest brauche ich echt eure Hilfe, kleine Tipps reichen auch
Vielen Dank in voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 Mo 01.01.2007 | | Autor: | catull |
2. da muss ich zeigen, das die Folgen linear unabhängig sind, ich weiß aber leider nicht wie es bei den Folgen gehen kann.
3. Muss ich hier zeigen , dass die zwei Folgen die obige Rekursion erfüllen?
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Hallo catull,
> Die Fibonacci Folge [mm]\Phi_{i\in\mathbb{N}}[/mm] ist definiert
> durch [mm]\Phi_1 := \Phi_0 := 1[/mm] und [mm]\Phi_i := \Phi_{i-2} +\Phi_{i-1}[/mm]
> für alle [mm]i \ge 2[/mm]. Zeigen Sie:
> 1. Die Menge [mm]F[/mm] aller Folgen [mm]\left(a_n\right)_{n \in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\infty}[/mm],
> die für alle [mm]n \in\mathbb{N}[/mm] die Gleichung [mm]a_{n+2} =a_{n+1}+a_n[/mm]
> erfüllen, ist ein Untervektorraum von [mm]\mathbb{R}^{\infty}[/mm].
> 2. Die beiden Folgen in [mm]F[/mm] mit [mm]a_0 = 1[/mm] und [mm]a_1 = 0[/mm] bzw. mit
> [mm]a_0 = 0[/mm] und [mm]a_1 = 1[/mm] sind eine Basis von [mm]F[/mm].
> 3. [mm]F[/mm] enthält zwei Folgen der Form [mm]\left(\Phi^n\right)_{n \in\mathbb{N}}[/mm],
> und zwar diejenigen mit [mm]\Phi = \tfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/mm].
>
> 4. Die beiden Folgen in 3 sind ebenfalls eine Basis von [mm]F[/mm].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Als erstes möchte ich allen ein frohes Neues Jahr
> wünschen!!!!
> Bis jetzt kam ich ziemlich gut mit allen Aufgaben in LA
> klar,aber, da ich die letzten zwei Wochen krank war habe
> ich einiges verpasst!
> Deswegen bitte ich euch dringend um Hilfe!!
> Ich könnte alle Tipps gebrauchen
> Meine Lösungsansätze:
> 1. Hier müsste man meiner Meinung nach die Eigenschaften
> des Unterraumes nachweisen:
> Die Nullfolge erfüllt auf jeden Fall die Gleichung , ich
> weiß allerdings nicht wie man das richtig aufschreiben oder
> beweisen kann. Damit wäre U1 erfüllt.
> Wenn a0,a1,a2... und b0,b1,b2.... die Gleichung erfüllen
> dann auch a0 + b0, a1+b1 usw
> allerdings weiß ich auch nicht wie man das hier allgemein
> beweisen kann.Die dritte Eigenschaft muss auch so ähnlich
> gehen
Vielleicht gibt's ja in Deinem Skript eine Notation für die Nullfolge - bezeichnen wir sie z.B. mit $(O)$. Es gilt also [mm] $O_0=O_1=0$ [/mm] und [mm] $O_{n+2}=0=0+0=O_{n+1}+O_{n}$. [/mm] Ganz ähnlich kannst Du's bei der Summe zweier Folgen aus $F$ machen (Addition von Folgen ist ja komponentenweise).
Zu 2.: Seien [mm] $\vector{a}:=(a_n)$ [/mm] bzw. [mm] $\vector{b}:=(b_n) \in [/mm] F$ mit [mm] $a_0=1,a_1=0$ [/mm] und [mm] $b_0=0, b_1=1$. [/mm] Ich denke es ist am einfachsten, die lineare Unabhängigkeit indirekt zu beweisen: Denn zwei Vektoren sind ja genau dann linear abhängig, wenn der eine ein skalares Vielfaches (Skalar von 0 verschieden) des andern ist.
Ist [mm] $\vector{f}=(f_n)\in [/mm] F$ mit [mm] $f_0=c_0, f_1=c_1$; [/mm] dann ist zu zeigen: [mm] $\vector{f}=c_0\vector{a}+c_1\vector{b}$. [/mm] Damit ist dann gezeigt, daß [mm] $\vector{a}, \vector{b}$ [/mm] ein Erzeugendensystem von $F$ bilden.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:55 Mi 03.01.2007 | | Autor: | catull |
Danke schön für deine Hilfe Zahlenspieler!!!
Also für die Addition habe ich folgendes raus:
Seien an und bn Folgen, die die Rekursionsgleichung erfüllen
Sei cn= an + bn
dann gilt cn+2 = an+2 + bn+2
daraus folgt : da die Folgenaddition komponentenweise ist
cn+2= an+2 + bn+2 = an+1 + bn+1 + an + bn = ( a + b )n+1 + (a+b)n
also erfüllt die Vektoraddition die Rekursion
Bei der Skalarmultiplikation
Sei c Elemet K
can+2 = can+1 + can
Sei ca = d
dann gilt
dn+2 = dn+1 + dn
Ist das richtig???
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Hallo catull,
Lösung zu Teil 1 ist richtig.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:24 So 07.01.2007 | | Autor: | catull |
Danke schön Zahlenspieler!!!
Könnte mir jemand vielleicht noch bei der Skalarmultiplikation helfen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Fr 12.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 03.01.2007 | | Autor: | catull |
könntest du mir mir das mit der Basis vielleicht noch einmal erklären ich verstehe nicht so gut was du damit meinst.
Und vielleicht hat jemand für die Aufgaben 3 und 4 Tipps?
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Sagt Dir der Begriff homogene Differenzengleichung was? Fundamentallösungen?
Du kannst zu jeder homogenen Differenzengleichung (umstellen nach 0) über ein charakteristisches Polynom Fundamentallösungen finden, die dann eine Basis für den gesamten Lösungsraum bilden.
Die in (3) angebenen Lösungen sind Fundamentallösungen und bilden damit in (4) eine Basis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 03.01.2007 | | Autor: | catull |
Charekteristisches Polynom kam bei uns im Skript vor, davon habe ich aber nicht viel verstanden
Die anderen zwei Begriffe sehe ich zum ersten Mal. Gibt es keine andere Methode??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Mi 03.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo
Folgen [mm] $(a_0,a_1,a_2,\dots)$ [/mm] bilden einen Vektorraum unter komponentenweis Addition und skalarer Multiplikation.
Dass die zwei Folgen eine Basis bilden ist ganz einfach einzusehen.
i) Sie sind linear unabhängig. Folgt schon aus [mm] $v_1=(1,0,\dots)$ [/mm] und [mm] $v_2=(0,1,\dots)$. [/mm] Denn gilt [mm] $av_1+bv_2=(a,b,\dots)=(0,0,\dots)$ [/mm] so folgt a=b=0.
ii) Sie erzeugen den Unterraum. Ist [mm] $v=(a_1,a_2,\dots)$ [/mm] eine Folge die die Rekursion erfüllt, so gilt [mm] $v=a_1v_1+a_2v_2$, [/mm] denn diese beiden Folgen stimmen in ihren ersten beiden Gliedern überein, und weil sie diesselbe Rekursion erfüllen, stimmen sie in allen Gliedern überein.
Du siehts, im wesentlichen musst du in diesem Fall nur die ersten beiden Glieder der Folge anschauen.
Seien [mm] $a,b=\frac{1\pm\sqrt 5}2$ [/mm] und [mm] $w_1=(1,a,a^2,a^3,\dots)$ $w_2=(1,b,b^2,b^3,\dots)$, [/mm] dann musst du zeigen, dass [mm] $w_1,w_2$ [/mm] die Rekursionen erfüllen, d.h. [mm] $a^{n+2}=a^{n+1}+a^n$ [/mm] rsp. [mm] $b^{n+2}=b^{n+1}+b^n$ [/mm] für alle [mm] $n\geq [/mm] 0$.
Um zu zeigen, dass [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$ [/mm] eine Basis bilden, musst du wie oben nur die ersten beiden Glieder der Folge anschauen.
mfG Moudi
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:59 Do 04.01.2007 | | Autor: | catull |
Danke schön für eure Antworten , sie waren sehr hilfreich!!
Ich habe trotzdem noch fragen:
Ich habe die Aufgabe 3 für ein allgemeines n bewiesen . Geht es auch?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Fr 05.01.2007 | | Autor: | catull |
Wie kann ich in der Aufgabe 2 genau beweisen ob die Folgen die Rekursion erfüllen
Reicht es in der 4. Aufgabe zu zeigen , dass die Folgen lin. unabh. sind, weil ja aus der 3. Aufgabe folgt , dass die Folgen die Rekursion erfüllen
Bitte helft mir,
alleine komme ich irgendwie nicht zurecht
mfg, Catull
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 05.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo catull
Ja, wenn du 3 gezeigt hast, dass diese beiden Folgen wirklich im Unterraum liegen, dann genügt es zu zeigen, dass sie linear unabhängig sind, da du ja schon weisst, dass der Unterraum 2-dimensional ist.
mfG Moudi
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:10 So 07.01.2007 | | Autor: | catull |
Danke schön für die Antwort!
Ich weiß aber leider noch immer nicht , wie ich in der Aufgabe 2 den Unterraum beweise. Kann mir bitte jemand helfen
mfg Catull
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