Fibonacci Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 19.11.2008 | | Autor: | husbert |
| Aufgabe | Die Fibonacci Zahlen sind über folgende Rekursionsgleichung definiert:
[mm] f_{1}=1, f_{2}=1 [/mm] und [mm] f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}
[/mm]
Bestimmen Sie die Summe der ersten n Fibonaccischen Zahlen. |
Hallo,
mein ansatz bei dieser aufgabe kommt von wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Erzeugende_Funktion
die Summe der 1. n Fib. Zahlen ist doch [mm] f_{n+1} [/mm] oder?
Wenn diese Aussage richtig ist sollte ich das ganze nurnoch in einer Summenformel zusammenfassen.
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}f_{n-1}+f_{n-2}= f_{n}
[/mm]
Korigiert mich bitte wenn ich falsch liege.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mi 19.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Die Fibonacci Zahlen sind über folgende Rekursionsgleichung
> definiert:
> [mm]f_{1}=1, f_{2}=1[/mm] und [mm]f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Summe der ersten n Fibonaccischen
> Zahlen.
> Hallo,
> mein ansatz bei dieser aufgabe kommt von wikipedia:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Erzeugende_Funktion
>
> die Summe der 1. n Fib. Zahlen ist doch [mm]f_{n+1}[/mm] oder?
Probiere es doch aus.
(1+1+2 ist z.B. 4, das ist keine Fibonaccizahl.)
>
> Wenn diese Aussage richtig ist sollte ich das ganze nurnoch
> in einer Summenformel zusammenfassen.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1}f_{n-1}+f_{n-2}= f_{n}[/mm]
>
>
> Korigiert mich bitte wenn ich falsch liege.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
[mm] f_3=f_1+f_2
[/mm]
[mm] f_4=f_3+f_2=f_1+2*f_2.
[/mm]
[mm] f_1+ f_2 +f_3+f_4=f_1+f_2+(f_1+f_2)+(f_1+2*f_2)=3*f_1+4*f_2
[/mm]
Setze mal weiter fort, um auf eine Gesetzmäßigkeit zu stoßen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 20.11.2008 | | Autor: | husbert |
danke abakus!
also ist die summe der ersten n fibonacci zahlen:
[mm] =(n-1)*f_{1}+2^{n-2}*f_{2}
[/mm]
da:
[mm] f_{1}+...+f_{3}=2*f_{1} [/mm] + [mm] 2*f_{2}
[/mm]
[mm] f_{1}+...+f_{4}=3*f_{1} [/mm] + [mm] 4*f_{2}
[/mm]
[mm] f_{1}+...+f_{5}=4*f_{1} [/mm] + [mm] 8*f_{2}
[/mm]
[mm] f_{1}+...+f_{6}=5*f_{1} [/mm] + [mm] 16*f_{2}
[/mm]
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> danke abakus!
>
> also ist die summe der ersten n fibonacci zahlen:
>
> [mm]=(n-1)*f_{1}+2^{n-2}*f_{2}[/mm]
Hallo,
Du solltest das, was Du schreibst, auch nachprüfen:
Es ist doch [mm] \summe_1^6f_i=1+1+2+3+5+8=20 \not=5*f_{1}[/mm] [/mm] + [mm]16*f_{2}[/mm] , also kann Deine Formel nicht stimmen.
> da:
> [mm]f_{1}+...+f_{3}=2*f_{1}[/mm] + [mm]2*f_{2}[/mm]
> [mm]f_{1}+...+f_{4}=3*f_{1}[/mm] + [mm]4*f_{2}[/mm]
> [mm]f_{1}+...+f_{5}=4*f_{1}[/mm] + [mm]8*f_{2}[/mm]
> [mm]f_{1}+...+f_{6}=5*f_{1}[/mm] + [mm]16*f_{2}[/mm]
Anderer Ansatz:
Hast Du Dir eigentlich die - sagen wir: ersten 10 - Summen mal aufgeschreiben?
Ich find's lohnend, wenn man diese Folge mit der Fibonaccifolge vergleicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 23.11.2008 | | Autor: | husbert |
Hallo,
habe mir die 1. 10 aufgeschrieben und etwas gefunden,
dass die Summe der ersten n Fibonaccizahlen immer die Differenz der Fibonaccizahl [mm] f_{n+2}-1 [/mm] ist.
Das ganze in eine formel gepackt ist [mm] Summe=f_{n+1}+f_{n}-1
[/mm]
Bei den Proben kam immer das richtige Ergebnis.
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> Hallo,
> habe mir die 1. 10 aufgeschrieben und etwas gefunden,
> dass die Summe der ersten n Fibonaccizahlen immer die
> Differenz der Fibonaccizahl [mm]f_{n+2}-1[/mm] ist.
>
> Das ganze in eine formel gepackt ist [mm]Summe=f_{n+1}+f_{n}-1[/mm]
>
> Bei den Proben kam immer das richtige Ergebnis.
Hallo,
ja, und das wäre jetzt etwas, was man beweisen müßte, z.B. mit Induktion.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Di 25.11.2008 | | Autor: | juel |
hallo
kann mir bitte jemand mal erläutern wie ihr auf die Summer der Fibonaccizahl kommt?
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> hallo
>
> kann mir bitte jemand mal erläutern wie ihr auf die Summer
> der Fibonaccizahl kommt?
Hallo,
ich für meinen Teil: zunächst experimentell.
Schreib doch mal die ersten 20 oder so Fibonaccizahlen auf, und daneben dann die aufsummierten Fibonaccizahlen.
Da bekommt manziemlich schnell die Idee,daß die Summe der ersten n Fibonaccizahlen die (n+2)-te mimus 1 ist.
Wenn mandiese vermutung hat, macht man einen induktionsbeweis, und wenn der klappt, war die Vermutung richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 26.11.2008 | | Autor: | juel |
ich versteh das nicht :-( ich hab jetzt mal die Zahlen aufgeschrieben, die lauten
[mm] f_{0} [/mm] = 1
[mm] f_{1} [/mm] = 1
[mm] f_{2} [/mm] = 2
[mm] f_{3} [/mm] = 3
[mm] f_{4} [/mm] = 5
[mm] f_{5} [/mm] = 8
[mm] f_{6} [/mm] =13
[mm] f_{7} [/mm] = 21
[mm] f_{8} [/mm] = 34
[mm] f_{9} [/mm] = 55
[mm] f_{10} [/mm] = 89
[mm] f_{11} [/mm] = 144
[mm] f_{12} [/mm] = 233
[mm] f_{13} [/mm] = 377
[mm] f_{14} [/mm] = 610
[mm] f_{15} [/mm] = 987
[mm] f_{16} [/mm] = 1597
[mm] f_{17} [/mm] = 2584
[mm] f_{18} [/mm] = 4181
[mm] f_{19} [/mm] = 6765
[mm] f_{20} [/mm] = 10 946
ich hab nur heraus gefunden das die ersten 5 Zahlen sich zwei mal wiederholen und zwar nur bis 10. d.h. von 1-5-te n ist es 1,2,3,5,8 und dann von 6-10-te n (und zwar nur die erste Zahl) 13,21,34,55,89
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Hallo juel,
suchst Du nach Zahlen oder nach Ziffern?
Das ist nicht das gleiche!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Mi 26.11.2008 | | Autor: | juel |
hallo
also ich würde gerne die Summenformel aufstellen, aber ich weiß einfach nicht wie
das ist bei der Aufgabe gegeben
[mm] f_{1} [/mm] = 1 , [mm] f_{2} [/mm] = 1 und [mm] f_{n} [/mm] = [mm] f_{n-1} [/mm] + [mm] f_{n-2}
[/mm]
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Hallo!
Um eine Vermutung für die Summenformel zu bekommen, musst du dir sowohl Fibonacci-Zahlen als auch deren Summe aufschreiben!
Fibo Summe
[mm] $1\quad\quad\quad [/mm] 1$
[mm] $1\quad\quad\quad\red{2}$
[/mm]
[mm] $2\quad\quad\quad\blue{4}$
[/mm]
[mm] $\red{3}\quad\quad\quad\green{7}$
[/mm]
[mm] $\blue{5}\quad\quad\quad\red{12}$
[/mm]
[mm] $\green{8}\quad\quad\quad\blue{20}$
[/mm]
[mm] $\red{13}\quad\quad\quad [/mm] 33$
[mm] $\blue{21}\quad\quad\quad [/mm] 54$
usw. Anhand der farbigen Markierungen kann man nun sehr schön sehen, dass die Summe irgendwas mit der Fibonacci-Folge zu tun hat. Die Summenformel ist gewissermaßen nur eine "verspätete" Fibonacci-Folge.
Diese Idee kann man nun als Zusammenhang formulieren:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}f_{k} [/mm] = [mm] f_{n+2}-1$
[/mm]
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Do 27.11.2008 | | Autor: | juel |
das hast du gut erklärt
vielen dank
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