Fibonaccische Zahlenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 02.11.2006 | | Autor: | Xa3r0 |
| Aufgabe | Die Fibonaccischen Zahlen [mm] f_{n} [/mm] sind definiert durch die Vorschrift [mm] f_{0}=f_{1}=1 [/mm] und [mm] f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1} [/mm] für n [mm] \varepsilon \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2. Zeigen Sie, dass die zahlenfolge [mm] (a_{n})_{n=1}^\infty [/mm] mit
[mm] a_n=\bruch {f_n}{f_{n-1}}
[/mm]
konvergiert und berechnen sie den Grenzwert.
Tipp: Leiten sie die Rekursionsformel für die Berechnung der [mm] a_n [/mm] her und zeigen sie zunächst, dass die Teilfolge [mm] (a_{2k})_{k=1}^\infty [/mm] der geraden Glieder monoton fallend und beschränkt ist. |
Hallo erstmal :)
also ich habe die obige Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich da vorgehen soll. Die Rekursionsformel bedeutet ja, dass ich ein Glied durch das vorhergehende herleiten kann.
Würde das dann bedeuten das ich das [mm] f_n [/mm] durch [mm] f_{n-2}+f_{n+1} [/mm] ersetzen muss, und ich dann hätte:
[mm] a_n=\bruch {f_{n-2}+f_{n+1}}{f_{n-1}}
[/mm]
Aber wie komme ich dann weiter?
Und was ist mit dieser Teilfolge der geraden Glieder, wie komme ich da dann drauf? Fragen über Fragen, daher schonmal im voraus danke vielmals für die Antworten :)
thx & ciao
Xa3r0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
In [mm]a_n \cdot a_{n-1}[/mm] kürzt sich das Zwischenglied [mm]f_{n-1}[/mm] weg. Wende erst dann im Zähler die Rekursionsvorschrift für [mm]f_n[/mm] an und führe die Division aus. Du erhältst eine Rekursionsvorschrift für die Folge [mm](a_n)[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Xa3r0 |
Wie komme ich da auf [mm] a_n \cdot a_{n-1}? [/mm] Gibt es da einen bestimmten Grund warum ich die 2 Teile der Zahlenfolge miteinander multipliziere?
Das wäre dann ja eigentlich:
[mm] a_n \cdot a_{n-1}=\bruch{f_n}{f_{n-1}} \cdot \bruch{f_{n-1}}{f_{n-2}}
[/mm]
[mm] a_n \cdot a_{n-1}=\bruch{f_n}{f_{n-2}}
[/mm]
oder?
Und wenn man dann dafür das [mm] f_n [/mm] ersetzt wäre das dann:
[mm] a_n \cdot a_{n-1}=\bruch{f_{n-2}+f_{n-1}}{f_{n-2}}
[/mm]
Aber das bringt mich dann auch nicht weiter, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wie komme ich da auf [mm]a_n \cdot a_{n-1}?[/mm] Gibt es da einen
> bestimmten Grund warum ich die 2 Teile der Zahlenfolge
> miteinander multipliziere?
>
> Das wäre dann ja eigentlich:
> [mm]a_n \cdot a_{n-1}=\bruch{f_n}{f_{n-1}} \cdot \bruch{f_{n-1}}{f_{n-2}}[/mm]
>
> [mm]a_n \cdot a_{n-1}=\bruch{f_n}{f_{n-2}}[/mm]
> oder?
Rööchtöch!
>
> Und wenn man dann dafür das [mm]f_n[/mm] ersetzt wäre das dann:
>
> [mm]a_n \cdot a_{n-1}=\bruch{f_{n-2}+f_{n-1}}{f_{n-2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Aber das bringt mich dann auch nicht weiter, oder?
Wieso nicht? Rechte Seite $=\bruch{f_{n-2}}{f_{n-2}} +\bruch{f_{n-1}{f_{n-2}}=\ldots$
Setz doch mal $n-1$ statt $n$ in die Def. von $a_n$ ein ...na?
Hth
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
Die Menge [mm]\mathbb{N}[/mm] der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition. Die Rekursionsbeziehung für die [mm]f_n[/mm] zeigt zusammen mit den Startwerten: [mm]f_n \in \mathbb{N}[/mm] für alle [mm]n \geq 0[/mm]. Insbesondere gilt also:
[mm]a_n = \frac{f_n}{f_{n-1}} > 0[/mm] für alle [mm]n \geq 1[/mm]
Was die Rekursionsbeziehung für die [mm](a_n)[/mm] angeht, mußt du nur weiterrechnen:
[mm]a_n \cdot a_{n-1} = \frac{f_{n-2} + f_{n-1}}{f_{n-2}} = 1 + \frac{f_{n-1}}{f_{n-2}} = 1 + a_{n-1}[/mm] für alle [mm]n \geq 2[/mm]
Wenn man jetzt unterstellt, daß die Folge [mm](a_n)[/mm] einen Grenzwert [mm]\varphi[/mm] besitzt, so gewinnt man aus der Rekursionsbeziehung für [mm]n \to \infty[/mm] durch gliedweisen Grenzübergang die Gleichung
(*) [mm]\varphi^2 = 1 + \varphi[/mm]
Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, eine negative und eine positive. Wegen [mm]a_n > 0[/mm] kann nur die positive Lösung
[mm]\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/mm] (Verhältniszahl des Goldenen Schnitts)
der Grenzwert sein.
Jetzt gibt es also zwei Möglichkeiten: Entweder ist die Folge [mm](a_n)[/mm] divergent oder sie ist konvergent. Wenn sie aber konvergent ist, ist [mm]\varphi[/mm] der Grenzwert. Der Rest der Aufgabe besteht also darin, die Konvergenz der Folge [mm](a_n)[/mm] nachzuweisen. Wenn du dir einmal die ersten Folgeglieder anschaust, erkennst du schnell, daß es auf eine Schachtelung
[mm]a_1 < a_3 < a_5 < \ldots < \varphi < \ldots < a_6 < a_4 < a_2[/mm]
hinausläuft. Gehe folgendermaßen vor:
1.
Zeige: [mm]a_n = 1 + \frac{1}{a_{n-1}}[/mm] für [mm]n \geq 2[/mm]
Folgere daraus speziell: [mm]a_n > 1[/mm] für [mm]n \geq 2[/mm] (hilft bei 4.)
2.
Zeige durch mehrfache Anwendung von 1.: [mm]a_{n+2} = \frac{2a_n + 1}{a_n + 1}[/mm] für [mm]n \geq 1[/mm]
3.
Zeige: Ist [mm]a_n < \varphi[/mm] (bzw. [mm]> \varphi[/mm]), so ist auch [mm]a_{n+2} < \varphi[/mm] (bzw. [mm]> \varphi[/mm])
Du mußt dazu nur die zu beweisende Ungleichung mit Hilfe von 2. äquivalent umformen.
Wegen [mm]a_1 < \varphi[/mm] und [mm]a_2 > \varphi[/mm], zeigt das, daß alle Glieder mit ungeradem Index unterhalb und alle mit geradem Index oberhalb von [mm]\varphi[/mm] liegen. Jetzt fehlt noch die strenge Monotonie.
4.
Zeige:
[mm]a_{n+2} > a_n \ \ \Leftrightarrow \ \ a_n < \varphi[/mm]
[mm]a_{n+2} < a_n \ \ \Leftrightarrow \ \ a_n > \varphi[/mm]
Jetzt ist die obige Ungleichungskette gezeigt. Die Glieder mit ungeradem Index sind nach oben, diejenigen mit geradem Index nach unten durch [mm]\varphi[/mm] beschränkt. Die Teilfolgen mit ungeradem bzw. geradem Index sind somit konvergent. Die Rekursionsbeziehung in 2. zeigt weiter, daß sie denselben Grenzwert haben, nämlich gerade [mm]\varphi[/mm]; denn man erhält aus 2. wieder die quadratische Gleichung (*).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Xa3r0 |
puh, danke :) das hat mir schonma sehr geholfen, habe die Aufgabe jetzt auch fast fertig, ich komme nur nicht dahinter wie ich den letzten Beweis anstellen soll, also zu beweisen das [mm] a_{n+2}\varphi [/mm] gilt.
Habt ihr da noch einen kleinen Tipp für mich? Wäre super nett :)
und nochmals danke für die tollen und schnellen Antworten, hat mir wirklich geholfen :)
|
|
|
| |
|
Forme äquivalent um:
[mm]a_{n+2} > a_n \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{2a_n + 1}{a_n + 1} > a_n[/mm]
Multipliziere mit dem (positiven) Nenner durch, bringe alle Glieder auf eine Seite: [mm]\ldots < 0[/mm]. Du erhältst eine quadratische Ungleichung. Führe in ihr eine quadratische Ergänzung durch: [mm]\left( a_n - \ldots \right)^2 - \ldots < 0[/mm] und löse nach dem Quadrat auf: [mm]\left( \ldots \right)^2 < \ldots[/mm]. Nach 1. weiß man, daß die Klammer stets positiv ist, so daß du bedenkenlos durch Wurzelziehen auflösen kannst.
Der letzte Punkt ist etwas heikel. Beachte, daß man aus [mm]u^2 < v^2[/mm] nicht einfach [mm]u < v[/mm] folgern kann (Gegenbeispiel: [mm]u = 3 \, , \, v = -4[/mm]), daß man es aber dann darf, wenn man sich vorher vergewissert hat, daß [mm]u,v>0[/mm] sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Xa3r0 |
danke nochmals für die schnelle antwort :)
aber...entweder stelle ich mich dumm an oder ich verstehe den Text falsch :)
Ich habe das alles so gemacht, mit dem Nenner multipliziert und so, aber dann komme ich ja, wenn ich das auf eine Seite schreibe zu:
[mm] a^2_n-a_n-1<0
[/mm]
und das wäre ja dann mit einer quadratischen Ergänzung:
[mm] (a_n-1)^2-2+a_n<0
[/mm]
Wenn ich das ganze nun wieder auf die andere Seite nehme und die Wurzel ziehe komme ich zu:
[mm] a_n-1<\wurzel{2-a_n}
[/mm]
[mm] a_n<\wurzel{2-a_n}+1
[/mm]
Aber das ist dann ja kein Beweis dafür, die [mm] a_{n+2} [/mm] größer sind als die [mm] a_n [/mm] ?
Ich habe es auch noch über die Lösungsformel versucht, also
[mm] a_{n_1/n_2}< \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{5}{4}}
[/mm]
aber da komme ich auch nur auf das [mm] \varphi
[/mm]
Und daraus kann ich auch nicht Schlussfolgern, dass [mm] a_{n+2} [/mm] größer ist als [mm] a_n [/mm] oder?
Nochmals thx für die bisherige (und vllt. auch zukünftige :)) Hilfe :)
|
|
|
| |
|
Ziel der quadratischen Ergänzung ist es natürlich, daß die interessierende Variable (hier [mm]a_n[/mm]) nur einmal auftritt:
[mm]a_n^{\, 2} - a_n - 1 < 0[/mm]
[mm]\left( a_n - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{5}{4} < 0[/mm]
|
|
|
|
