Fichtenwachstum, Diff.-Gleichu < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Do 08.02.2007 | | Autor: | Pure |
| Aufgabe | Das Wachstum von Fichten, die etwa 30m hoch werden, wird annäherungsweise durch eine Funktion h beschrieben, die der Differentialgleichung h'(x)=k*h(x)*(30-h(x)) genügt.
Dabei ist k eine Konstante, und h(x) ist die Höhe einer Fichte in Metern x Jahre nach Beobachtungsbeginn.
Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung durch die Funktion h mit [mm] h(x)=\bruch{0,6}{0,02+e^{-30*k*x}} [/mm] erfüllt wird.
Wie hoch war eine dieser Fichten bei Beobachtungsbeginn?
Berechnen Sie k, wenn eine dieser Fichten 15 Jahre nach Beobachtungsbeginn 12m hoch ist. |
Hallo erst mal an alle, die sich die Mühe machen, das hier zu lesen
Also eigentlich weiß ich nicht, wie ich hier anfangen soll bei dieser Aufgabe.
Soll man die Funktion h in h'(x) einsetzen? Also ich habe es mal probiert, aber ich weiß nicht, was da von mir verlangt wird, wenn ich zeigen soll, dass die Gleichung erfüllt wird.
Und dann habe ich keine Ahnung, wie ich irgendwie darauf kommen soll, wie hoch eine Fichte bei Beobachtungsbeginn war.
Und bei der Bestimmung von k: Kann ich da einfach für die Jahre, also 15, x=15 einsetzen bei h(x)? Demnach müsste ja irgendwie mal k rauskommen, oder bin ich jetzt komplett falsch?
Wäre supernett, wenn ihr mir wieder mal helfen könntet.
Bis dahin, liebe Grüße,
Pure
|
|
| |
|
> Das Wachstum von Fichten, die etwa 30m hoch werden, wird
> annäherungsweise durch eine Funktion h beschrieben, die der
> Differentialgleichung h'(x)=k*h(x)*(30-h(x)) genügt.
> Dabei ist k eine Konstante, und h(x) ist die Höhe einer
> Fichte in Metern x Jahre nach Beobachtungsbeginn.
> Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung durch die
> Funktion h mit [mm]h(x)=\bruch{0,6}{0,02+e^{-30*k*x}}[/mm] erfüllt
> wird.
> Wie hoch war eine dieser Fichten bei Beobachtungsbeginn?
> Berechnen Sie k, wenn eine dieser Fichten 15 Jahre nach
> Beobachtungsbeginn 12m hoch ist.
> Also eigentlich weiß ich nicht, wie ich hier anfangen soll
> bei dieser Aufgabe.
> Soll man die Funktion h in h'(x) einsetzen? Also ich habe
> es mal probiert, aber ich weiß nicht, was da von mir
> verlangt wird, wenn ich zeigen soll, dass die Gleichung
> erfüllt wird.
Hallo,
Wenn h die Gleichung erfüllt, ist die Ableitung von h gleich k*h(x)*(30-h(x)) .
Das mußt Du prüfen.
h ableiten und gucken ob'S [mm] =k*(\bruch{0,6}{0,02+e^{-30*k*x}})*(30-(\bruch{0,6}{0,02+e^{-30*k*x}})) [/mm] ist.
>
> Und dann habe ich keine Ahnung, wie ich irgendwie darauf
> kommen soll, wie hoch eine Fichte bei Beobachtungsbeginn
> war.
Da steht geschrieben:
> ...und h(x) ist die Höhe einer
> Fichte in Metern x Jahre nach Beobachtungsbeginn.
Der Beobachtungbeginn ist x=0, und h(0) gibt Dir folglich die Höhe bei Beobachtungsbeginn an. Du mußt nur 0 einsetzten und das ausrechnen.
>
> Und bei der Bestimmung von k: Kann ich da einfach für die
> Jahre, also 15, x=15 einsetzen bei h(x)? Demnach müsste ja
> irgendwie mal k rauskommen, oder bin ich jetzt komplett
> falsch?
Nein, Du "bist" nicht komplett falsch, nur nicht ganz zu Ende.
Du mußt 15 einsetzen, das stimmt, und dann setzt Du es =12, denn die Höhe nach 15 Jahren besträgt lt. Aufgabe 12 m.
Durch Umformen kannst Du nun das k ermitteln.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
