www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "stochastische Prozesse" - Filtration Stoch. Prozess
Filtration Stoch. Prozess < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Prozesse"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Filtration Stoch. Prozess: Erzeugte Filration
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Sa 30.05.2015
Autor: Cramer

Sei [mm] $X:\Omega\times[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm] sein Stochastischer
Prozess. Nun haben wir die Filtration [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s}s Im diskreten ist mir klar wie das aussieht.

Also seien [mm] $X_{1},...,X_{n}$$\mathbb{R}$ [/mm] Zufallsvariablen, so ist
[mm] $\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{X_{i}^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R})i=1,...,n\})$ [/mm]
.Doch wie kann ich mir das im Zeitstetigen Fall vorstellen?

Sieht das dann genau gleich aus? Und weiter kann ich im diskretem
auch schreiben: [mm] $\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{(X_{1},...,X_{n})^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R}^{n})\})$. [/mm]
Wie sieht das im Zeitstetigen Fall aus?

So: [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s}s (wobei [mm] $\mathbb{R}^{[0,\infty)}$ [/mm] natürlich die Funktionen von [mm] $[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm]
sein sollen).?

Vielen dank im Vorraus

ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/,http://www.onlinemathe.de/


        
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Sa 30.05.2015
Autor: Cramer

Sry ich meine natürlich [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s}s (wobei [mm] $\mathbb{R}^{[0,\infty)}$ [/mm] natürlich die Funktionen von [mm] $[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ [/mm]
sein sollen)

Bezug
        
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Sa 30.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

interessante Frage und viel zum Auseinandernehmen :-)

> Sei [mm]X:\Omega\times[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/mm] sein
> Stochastischer  Prozess. Nun haben wir die Filtration
> [mm]F_{t}=\sigma(X_{s}s

Schreiben wir das mal sauberer: [mm] $F_{t}=\sigma(X_{s} [/mm] | s<t)$
Und vermutlich habt ihr sogar folgendes definiert: [mm] $F_t [/mm] =  [mm] \sigma(X_{s} [/mm] | [mm] s\le [/mm] t)$

>  Im diskreten ist mir klar wie das aussieht.
>
> Also seien [mm]X_{1},...,X_{n}[/mm][mm]\mathbb{R}[/mm] Zufallsvariablen, so ist
>  
> [mm]\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{X_{i}^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R})i=1,...,n\})[/mm]

Ja.

> Und weiter kann ich im diskretem auch schreiben:
> [mm]\sigma(X_{1},...,X_{n})=\sigma(\{(X_{1},...,X_{n})^{-1}(A)|A\in\mathbb{\mathcal{B}}(\mathbb{R}^{n})\})[/mm].

Unter den von dir gegebenen Bedingungen ja!
Aber nur, wenn du im Bildraum die Borel-Sigma-Algebra betrachtest, da für diese gilt: [mm] $\mathcal{B}(\IR^n) [/mm] = [mm] \bigotimes_{k=1}^n \mathcal{B}(\IR)$ [/mm]

Aber schon, wenn du statt der Borel-Sigma-Algebra die Lebesgue-Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{L}(\IR)$ [/mm] verwendest, stimmt die Gleichheit nicht mehr.
Dann stimmt nur die erste Notation.

>  Wie sieht das im Zeitstetigen Fall aus?
>  
> So:
> [mm]F_{t}=\sigma(X_{s}s
>  (wobei [mm]\mathbb{R}^{[0,\infty)}[/mm] natürlich die Funktionen
> von [mm][0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
>  sein sollen).?

Mit dem Hinweis von mir: Nein.
Dort gilt einfach: [mm] $F_t [/mm] = [mm] \sigma(X_s^{-1}(A) [/mm] , [mm] A\in \mathcal{B}(\IR), [/mm] s [mm] \le [/mm] t)$

Oder in Worten: [mm] F_t [/mm] ist einfach die [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] so dass alle Zufallsvariablen bis einschließlich zum Zeitpunkt t meßbar sind.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Sa 30.05.2015
Autor: Cramer

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Stimmt, dass die alternative
darstellung nur unter bestimmten Vorraussetzungen gilt, hab ich garnicht
mehr gewusst. Trozdem bleibt eine Frage noch offen für mich:

Wären dann aber zb Mengen wie [mm] $X|_{[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] für ein gewissen
[mm] $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,\infty)})$ [/mm] in [mm] $F_{t}$? [/mm]

Für mich ist die [mm] $F_{t}$ [/mm] immer die $t$ Vergangenheit, also der Prozess
bis zum Zeitpunkt $t$.

[mm] $X|_{[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] sind für mich alle Scenarien für welche gilt,
dass der prozess einen gewissen Verlauf hatte, hier genau $A$. i.e
[mm] $\{\omega|X|_{[0,t]}(\omega)\in A\}$. [/mm] Dies ist meiner Auffassung
nach auch eine Mögliche entwicklung von $X$ bis zu Zeitpunkt $t$
und müsste deshalb auch in [mm] $F_{t}$ [/mm] enthalten sein. Jedoch wäre nicht
gesagt, dass der überabzählbare Schnitt von Elementen einer Sigma.Algebra
ebenfalls wieder in der Sigma-Algebra ist. Somit weiss ich nicht genau
ob meine Überlegung so stimmt. Und wenn nicht, was ist dann mit diesen
ebend genannten Ereignissen.


Bezug
                        
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:30 Sa 30.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

eigentlich solltest du dir die entgegengesetzte Frage stellen: Wer sagt dir, dass du zu einzelnen, von dir gewünschte Pfade f immer gilt: [mm] $\{f\}\in \mathcal{B}(R^{[0,\infty)})$. [/mm]
Im Allgemeinen sind die einelementigen Mengen nämlich nicht Teil von [mm] $\mathcal{B}(R^{[0,\infty)})$. [/mm]
Das geht nur unter zusätzlichen Stetigkeitsannahmen. Und wenn du weißt, dass dein [mm] X_t [/mm] stetig ist, reichen dir ja auch abzählbar viele Punkte um den Pfad festzulegen....

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Sa 30.05.2015
Autor: Cramer

Ok also mal sehen ob ich das richtig verstanden habe. Wenn ich die
entwicklung des Prozesses nur bzgl 2 Punkten betrachte i.e [mm] $\{X_{s_{1}}\le y_{1},X_{s_{2}}\le y_{2}\}=\{\omega|X(\omega)\in A\}$, [/mm]
wobei [mm] $A=\{f:[0,\infty)\mapsto\mathbb{R}|f(s_{1})\le y_{1},f(s_{2})\le y_{2}\}$ [/mm]
für [mm] $s_{1} gilt ja eig sogar direkt nach der Definition). Nehme ich nun aber
[mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] für [mm] $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]})$ [/mm]
, dann kann doch $A$ garkeine 1 elementige Menge sein. $A$ ist für
mich einfach eine Menge von Pfaden. Ich sehe mir mit [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm]
nun alle Scenarien [mm] $\omega$ [/mm] an für die gilt, dass der Pfad [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}(\omega)$ [/mm]
in $A$ liegt.

Das ist so ja eig völlig legitim. Aber ist nun diese menge [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}(\omega)$ [/mm]
auch in [mm] $F_{t}$? [/mm] Ich steig da irgendwie noch nicht ganz hinter.


Bezug
                                        
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Sa 30.05.2015
Autor: Cramer

*Aber ist nun diese menge [mm] $X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)$ [/mm] auch
in [mm] $F_{t}$? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Filtration Stoch. Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 01.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nehme ich nun aber [mm]X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)[/mm] für
> [mm]A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]})[/mm]
>  , dann kann doch [mm]A[/mm] garkeine 1 elementige Menge sein.

Warum sollte A das nicht sein können? Das ist so im Allgemeinen gar nicht klar? In dem Fall stimmt das zwar, aber würdest du bspw. statt [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]})$ [/mm] die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{[0,t]} \cap C^0)$ [/mm] betrachten (dich also auf die stetigen Abbildungen beschränken), könnte A sehr wohl einelementig sein.

> [mm]A[/mm] ist für  mich einfach eine Menge von Pfaden.

Nicht nur für dich, aber wieso sollte ich nicht eine Menge auswählen können, die nur einen expliziten Pfad enthält? :-)
Das ist schon keine so einfache Frage.

> Ich sehe mir mit [mm]X|_{\Omega\times[0,t]}^{-1}(A)[/mm]
>  nun alle Scenarien [mm]\omega[/mm] an für die gilt, dass der Pfad [...]
>  in [mm]A[/mm] liegt.

korrekt.

> Aber ist nun diese menge [mm]X|_{\Omega\times[0,t]}(\omega)[/mm] auch in [mm]F_{t}[/mm]?

Im Allgemeinen wohl nicht.
Hast du aber bspw. einen Prozess mit stetigen Pfaden, dann schon.

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Prozesse"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de