Filtrierung lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Fr 21.11.2014 | | Autor: | eva4eva |
| Aufgabe | | Sei geg. ein nilpotenter Endomorphismus f:V->V mit NP-Index n. |
Bzgl. des Kerns (Unterraum!) gibt es ja eine Filtrierung = Kette von Unterräumen:
{0} = [mm] V_{0} \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq V_{n-1} \subseteq V_{n}=V
[/mm]
mit [mm] V_{i}=Kern(f^{i}), [/mm] i=0...n
Meine Gedanken/Fragen dazu:
- da f linear ist, wird immer auch auf {0} in der Zielmenge abgebildet, d h der Kern ist nie leer.
- da f nilpotent ist, werden für [mm] f^i [/mm] alle Elemente aus V auf {0} abgebildet
Stimmt das?
Nach der o. g. Kette von Unterräumen soll es also so sein, dass mit wachsender Näherung an den Nilpotenzindex die Menge der Elemente im Kern größer wird. Habe ich das richtig verstanden?
Wie kann man das begründen?
Salopp gesprochen:
Wenn bzgl. der Potenzen für [mm] f^0 [/mm] -> [mm] V_{0}={0} [/mm] und [mm] f^n ->V_{n}=V [/mm] ist, so wird [mm] V_{i} [/mm] für wachsende i größer, weil f linear ist. (?)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Fr 21.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo eva4eva!
> Sei geg. ein nilpotenter Endomorphismus f:V->V mit NP-Index
> n.
> Bzgl. des Kerns (Unterraum!) gibt es ja eine Filtrierung =
> Kette von Unterräumen:
>
> {0} = [mm]V_{0} \subseteq[/mm] ... [mm]\subseteq V_{n-1} \subseteq V_{n}=V[/mm]
>
> mit [mm]V_{i}=Kern(f^{i}),[/mm] i=0...n
Ja.
Ausgeschrieben steht da also:
[mm] $\{0\}=Kern(\underbrace{f^0}_{=id_V})\subseteq Kern(\underbrace{f^1}_{=f})\subseteq Kern(f^2)\subseteq\ldots\subseteq Kern(f^n)=V$
[/mm]
(Ist dir klar, was [mm] $f^i$ [/mm] für [mm] $i\in\IN_0$ [/mm] bedeutet?)
Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du diese Eigenschaft nun begründen?
> Meine Gedanken/Fragen dazu:
> - da f linear ist, wird immer auch auf {0} in der
> Zielmenge abgebildet, d h der Kern ist nie leer.
Ja, Kerne linearer Abbildungen [mm] $V\to [/mm] W$ (in deiner Situation: $W=V$) sind immer lineare Unterräume von $V$ und als solche enthalten sie den Nullvektor von $V$.
> - da f nilpotent ist, werden für [mm]f^i[/mm] alle Elemente aus V
> auf {0} abgebildet
> Stimmt das?
Der Nilpotenzindex von f ist nicht irgendein $i$, sondern n.
Also ist $n$ minimal mit [mm] $f^n=0$.
[/mm]
Dabei bezeichnet $0$ den konstanten Endomorphismus [mm] $0\colon V\to V,\quad v\mapsto 0_V$, [/mm] der alle Vektoren von $V$ auf den Nullvektor von $V$ schickt.
[mm] $f^n=0$ [/mm] bedeutet also: [mm] $f^n(v)=0$ [/mm] für alle [mm] $v\in [/mm] V$.
> Nach der o. g. Kette von Unterräumen soll es also so sein,
> dass mit wachsender Näherung
mit i von unten
> an den Nilpotenzindex die
> Menge der Elemente im Kern
von [mm] $f^i$
[/mm]
> größer wird. Habe ich das
> richtig verstanden?
Ich würde es so formulieren:
Für jeden Endomorphismus [mm] $f\colon V\to [/mm] V$ und jedes [mm] $i\in\IN_0$ [/mm] gilt
[mm] $Kern(f^i)\subseteq Kern(f^{i+1})$.
[/mm]
> Wie kann man das begründen?
Sei [mm] $v\in Kern(f^i)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $v\in Kern(f^{i+1})$.
[/mm]
Wegen [mm] $v\in Kern(f^i)$ [/mm] ist [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $f^i(v)=0_V$.
[/mm]
Es folgt [mm] $f^{i+1}(v)=f(f^i(v))=f(0_V)=0_V$.
[/mm]
(Das letzte Gleichheitszeichen nutzt die Linearität von f.)
Also gilt tatsächlich [mm] $v\in Kern(f^{i+1})$.
[/mm]
Also haben wir
[mm] $Kern(\underbrace{f^0}_{=id_V})\subseteq Kern(\underbrace{f^1}_{=f})\subseteq Kern(f^2)\subseteq\ldots\subseteq Kern(f^n)$
[/mm]
gezeigt.
Es bleiben noch
(i) [mm] $Kern(id_V)=\{0\}$
[/mm]
und
(ii) [mm] $Kern(f^n)=V$
[/mm]
zu zeigen.
Eine Möglichkeit dazu: Zeige jeweils [mm] "\subseteq" [/mm] und [mm] "$\supseteq$".
[/mm]
(Je nach Vorkenntnissen genügt es schon, [mm] $Kern(id_V)\subseteq\{0\}$ [/mm] und [mm] $Kern(f^n)\supseteq [/mm] V$ zu zeigen, da [mm] $Kern(id_V)\supseteq\{0\}$ [/mm] und [mm] $Kern(f^n)\subseteq [/mm] V$ "klar" sind.)
Bei ii) benötigst du, dass $n$ der Nilpotenzindex von f ist.
Verständnisfrage: Wie lautet [mm] $Kern(f^{n+1})$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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