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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Di 18.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo,
ich hoffe Ihr könnt mir Helfen,
wir nehmen z.Zt. Zahlenfolgen durch und ich habe folgende 2Aufgaben bekommen:
1.Eine endliche Geometrische Zahlenfolge hat das Anfangsglied a1=2 und der Quotient q=3. Das Endglied heißt 39366. Berechnen Sie die Anzahl der Glieder.
2. Das 4. Glied einer geometrischen Zahlenfolge heißt 1/9, das 5. Glied 1/27. Geben Sie die ersten 3 Glieder der Folge an.
Leider weiß ich nicht, was ich anwenden muss und wie?
Kann mir wer einen schnellen Exkurs geben oder mir nur bei den Aufgaben helfen?
Viele Grüße
Tobias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Di 18.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Scholle,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> 1.Eine endliche Geometrische Zahlenfolge hat das
> Anfangsglied a1=2 und der Quotient q=3. Das Endglied heißt
> 39366. Berechnen Sie die Anzahl der Glieder.
Wie lautet denn die allgemeine Vorschrift für geometrische Folgen?
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{n-1}$
[/mm]
Und hier setzen wir einfach mal ein mit [mm] $a_1 [/mm] \ = \ 2$ , $q \ = \ 3$ sowie [mm] $a_n [/mm] \ = \ 39366$ :
$39366 \ = \ [mm] 2*3^{n-1}$
[/mm]
Kannst Du hier nun nach $n_$ umstellen?
> 2. Das 4. Glied einer geometrischen Zahlenfolge heißt 1/9,
> das 5. Glied 1/27. Geben Sie die ersten 3 Glieder der Folge
> an.
Bei einer geometrischen Folge haben aufeinanderfolgende Glieder ja immer denselben Quotienten $q_$ :
$q \ = \ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_5}{a_4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{1}{27}}{\bruch{1}{9}} [/mm] \ = \ ...$
Damit kannst Du dann die vorherigen Glieder [mm] $a_1$ [/mm] bis [mm] $a_3$ [/mm] rückwärts berechnen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Di 18.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort,
wäre das bei Aufgabe 1 dann:
6561 ? (Ich habe n-1 einfach weggenommen, bin mir aber net sicher)
Bei Aufgabe 2 habe ich 3 raus,
leider weiß ich aber nicht, wie ich nun die ersten 3 glieder von der Zahl herausbekomme.
Ich bin ein Schwerer Fall, aber ich möchte das auch endlich verstehen.
Viele Liebe Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 18.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Scholle!
> wäre das bei Aufgabe 1 dann:
> 6561 ? (Ich habe n-1 einfach weggenommen, bin mir aber net
> sicher)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein! Setze das doch einfach mal in die Formel ein, da kommt ein irrsinniger Wert heraus ...
$39366 \ = \ [mm] 2*3^{n-1}$ $\left| \ :2$
$19683 \ = \ 3^{n-1}$ $\left| \ \ln()$
$\ln(19683) \ = \ \ln\left(3^{n-1}\right) \ = \ (n-1)*\ln(3)$
...
> Bei Aufgabe 2 habe ich 3 raus,
[notok] Da hast Du Dich mit der Bruchrechnung vertan.
Ich erhalte $q \ = \ \bruch{1}{3}$ .
> leider weiß ich aber nicht, wie ich nun die ersten 3
> glieder von der Zahl herausbekomme.
Und nun gilt ja: $a_4 \ = \ a_3 * q$ $\gdw$ $\bruch{1}{9} \ = \ a_3 * \bruch{1}{3}$
Kannst Du nun $a_3$ berechnen? Und daraus dann $a_2$ und $a_1$ ?
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 18.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo nochmal,
also bei Aufgabe 1, da hatten wir garnet "/ln ()".
Da mein Lehrer momentan die Hefte eingesammelt hat, kann ich es leider nicht nachschauen.
Zu Aufgabe 2,
wie kommst Du da auf 1/3 ?
Was mir auffällt ist, das wir a4 auch nirgendwo mal hatten,
kann es sein dass es dafür verschiedene Formeln gibt?
Also ich bin fast fertig mit den Nerven, da ich das ganze Einfach nicht verstehe.
Das liegt jetzt nicht an Dir, es geht mir um die Buchstaben, und warum das da steht, wie ich da genau drauf komme etc.!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Di 18.10.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo Scholle,
bei der geometrischen Reihe von Zahlen ist der Quotien q zweier aufeinanderfolgender Glieder immer gleich groß.
Glied 5 = 1/27 und Glied 4 = 1/9.
Der Quotient der Zahlen [mm]\bruch{1}{27} : \bruch{1}{9} = \bruch{1}{27}*\bruch{9}{1} = \bruch{1}{3}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 18.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo,
gut danke, also der Kehrwert.
Jetzt habe ich die 1/3, wie komme ich mit dem Bruch auf die ersten Zahlen?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:04 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo Scholle,
q = [mm]\bruch{a_5}{a_4}= \bruch{1}{27}:\bruch{1}{9}=\bruch{9}{27}= \bruch{1}{3}[/mm]
[mm] a_4 [/mm] = [mm]\bruch{a_5}{q} = \bruch{1}{27}:\bruch{1}{3} = \bruch{3}{27}=\bruch{1}{9}[/mm]
[mm] a_3 [/mm] = [mm]\bruch{a_4}{q} = \bruch{1}{9}:\bruch{1}{3} = \bruch{3}{9} = \bruch{1}{3}[/mm]
[mm] a_2 [/mm] =
kommst du jetzt selber weiter? Wenn nicht, dann melde dich bitte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo,
dann wäre es doch bei a2= 1 richtig?
Und wie bei a1?
Wäre es dann :
a1= 1: 1/3 = 3/1 = 3 ?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobias!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So stimmt's ... !!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo,
das freut mich.
Okay, nun weiß ich noch net weiter mit der ersten Aufgabe:
1.Eine endliche Geometrische Zahlenfolge hat das Anfangsglied a1=2 und der Quotient q=3. Das Endglied heißt 39366. Berechnen Sie die Anzahl der Glieder.
Das hatten wir nicht mit In (),
kann es sein das es da einen anderen weg gibt?
Und da habe ich noch eine Bitte bzw. Frage,
es gibt ja verschiedene Folgen, geometrische, arithmetische etc.
Könntest Du mir mal bitte alle Formeln der Folgen geben?
Das wäre echt net, dann habe ich einen Überblick und kann sie lernen und verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobias!
Na, dann vielleicht so: Stichwort Primfaktoren-Zerlegung !
Wir waren ja stehen geblieben bei: [mm] $3^{n-1} [/mm] \ = \ 19683$
Durch die Primfaktoren-Zerlegung erhält man: $19683 \ = \ [mm] 3^9$
[/mm]
Damit wird: [mm] $3^{n-1} [/mm] \ = \ [mm] 3^9$ $\gdw$ [/mm] $n-1 \ = \ 9$
Hier mal einige Formeln:
Arithmetische Folge
Bei arithmetischen Folgen haben aufeinanderfolgende Glieder (benachbarte Glieder) immer dieselbe Differenz $d_$:
[mm] $a_{n} [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] \ = \ d \ = \ const.$
rekursive Darstellung: [mm] $a_{n} [/mm] \ = \ [mm] a_{n-1} [/mm] + d$
explizite Darstellung: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] + (n-1)*d$
Summenformeln: [mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + ... + [mm] a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left(a_1 + a_n\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{2}*\left[2*a_1 + (n-1)*d\right]$
[/mm]
Geometrische Folge
Bei geometrischen Folgen haben aufeinanderfolgende Glieder (benachbarte Glieder) immer denselben Quotient $q_$:
[mm] $\bruch{a_{n}}{a_{n-1}} [/mm] \ = \ q \ = \ const.$
rekursive Darstellung: [mm] $a_{n} [/mm] \ = \ [mm] a_{n-1} [/mm] * q$
explizite Darstellung: [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{n-1}$
[/mm]
Summenformeln: [mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + ... + [mm] a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] * [mm] \bruch{q^n-1}{q-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Scholle |
Hallo Loddar,
danke für die Formeln,
nur hinter die [mm] 3^9 [/mm] komme ich nicht hinter,
^n-1 kann man doch nicht zerlegen oder?
Oder wie kommst Du auf die ^9?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobias!
Nein, ich habe ja die Zahl $19863_$ in ihre Primfaktoren zerlegt:
$19863 \ = \ 3*6561 \ = \ 3*3*2187 \ = \ 3*3*3*729 \ = \ 3*3*3*3*243 \ = \ ... \ = \ 3*3*3*3*3*3*3*3*3 \ = \ [mm] 3^9$
[/mm]
Gruß
Loddar
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