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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 23:31 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Eine ähnliche Aufgabe, wie wir sie zuletzt schon mal gelöst hatten:
Finde alle ganzzahligen Lösungspaare von
[mm] $y^2 [/mm] + y = [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x$.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
Ich habe jetzt ein wenig "geschummelt", und die "geballte" 300MHZ-Power meines PCs dazu benutzt 1000000 Möglichkeiten für x und y durchzuprobieren.
Hier das kurze Python-Programm für deine Aufgabe:
| 1: | for x in range(1000):
| | 2: | for y in range(1000):
| | 3: | if (y*y+y) == (x**4 + x**3 + x*x + x):
| | 4: | print x, ", ", y |
Und hier die Ausgabe:
0 , 0
2 , 5
Wobei ich die erste Lösung auch vorher schon gewußt habe. 
Da selbst bei einer solchen Anzahl an Versuchen nur zwei Lösungen rausgekommen sind, nehme ich an, daß es eher unwahrscheinlich, daß es noch weitere Lösungen gibt.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Di 24.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi ;)
Zur Stelle!
Mal im Ernst: schön, dass du mich so hoch einschätzt, aber ich habe jetzt nach einer halben Stunde noch nicht wirklich einen Erfolg verbuchen können. Einige algebraische Umformungen, mehr nicht. Ich muss noch viel für die Schule machen, eventuell werde ich mich nachher nochmal damit beschäftigen :)
Danke aber für die Motivation, das ist wirklcih lieb - aber überschätz mich nicht ;) Die Meister sind immernoch du und Marc =o)
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Di 24.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Ich finde das stimmt, das ist nur die Wahrheit :) Oder etwa bei den Olympi-Aufgaben nicht @ Marc?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 24.08.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Stefan,
Hab' deine Antwort gerade erst gelesen. Einen Beweis habe ich im Moment nicht, und meine Antwort ist deshalb eigentlich keine Antwort sondern eine "schlichte" Mitteilung.
Aber hier ist eine etwas erweiterte Version des vorherigen Programms.
| 1: | for x in range(-500, 500):
| | 2: | for y in range(-500, 500):
| | 3: | if y*y + y == x**4 + x**3 + x*x + x:
| | 4: | print x, ", ", y |
Und die Ausgabe:
[mm] $\begin{array}{rr}x&y\\
-1& -1\\
-1& 0\\
0& -1\\
0& 0\\
2& -6\\
2& 5\end{array}$
[/mm]
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich hab mal ein bissl rumgeknobelt und die Gleichungen umgestellt, dabei bin ich auf eine (genauergesagt zwei) Funktion(en) gestoßen, mit der man zumindest die Werte überprüfen könnte, vielleicht fällt einem von euch damit ja was ein.
Die Idee dazu:
In die Umkehrfunktion von einer der Funktionen setzt man das Ergebnis der anderen für ganze Zahlen ein und schaut, ob wieder eine ganze Zahl rauskommt.
Ich habe also (weil es einfacher ist ^^; ) [mm] $y^2 [/mm] + y = x$ umgestellt, dabei kam raus:
[mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + x}$
[/mm]
[mm] $f_2(x) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + x}$
[/mm]
Jetzt setze man für x jeweils die andere Funktion ein und erhalte:
$f(x) = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4} + x^4 + x^3 + x^2 + x}$
[/mm]
Für $x=2$ ergibt sich z.B. ausser dem bekannten Zahlenpaar $(2,5)$ auch $(2,-6)$
Daraus ergibt sich übrigens auch, dass [mm] $4*(x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x) + 1$ eine Quadratzahl sein muss, das könnte man also mit einem Quadratzahlgenerator verbinden...
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo AT-Colt!
> Daraus ergibt sich übrigens auch, dass [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
> eine Quadratzahl sein muss
That's it! Du bist auf einer ganz heißen Spur. ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Und jetzt, Hanno, denk mal an unsere letzte Aufgabe. Wie hat SirJective die gelöst? So ähnlich geht es hier jetzt auch.
Zeigt einfach, dass [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] für gewisse $x$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahl liegt (und zwar echt dazwischen, also echt größer als die kleinere von beiden und echt kleiner als die größere von beiden).
Da [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] ja eine Quadratzahl ist, kommen solche $x$, für die Da [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] echt zwischen zwei aufeinander folgenden Quadratzahlen liegt, natürlich nicht in Frage. Die verbleibendenden $x$'s ($4$ an der Zahl) kann man dann leicht überprüfen.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo.
> Zeigt einfach, dass [mm]4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm] für
> gewisse [mm]x[/mm] zwischen zwei aufeinanderfolgenden
> Quadratzahlen liegt
Ich werde es einmal versuchen:
Meistens gilt
[mm](2x^2+x)^2 < 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
und
[mm](2x^2+x+1)^2 > 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
Es lässt sich nun zeigen für welche x eine der beiden Ungleichungen nicht zutrifft:
[mm](2x^2+x)^2 = 4x^4 + 4x^2 + 2x[/mm]
[mm]4x^4 + 4x^3 + x^2 < 4x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x + 1[/mm]
[mm]3x^2 + 4x + 1 > 0[/mm]
Für positive x (und x=0) gilt diese Ungleichung immer.
[mm]x = -n[/mm]
[mm]3n^2 - 4n +1 > 0[/mm]
[mm]n*(n-\bruch{4}{3}) + 1 > 0[/mm]
Für alle [mm]n > \bruch{4}{3}[/mm] (also für alle n>1) ist die Ungleichung gültig. Bleibt also nur n=1 und somit x=-1.
Nun muss man noch prüfen auf welche x die zweite Ungleichung nicht zutrifft:
[mm](2x^2+x+1)^2 > 4*(x^4 + x^3 + x^2 + x) + 1[/mm]
[mm]4x^4+4x^3+5x^2+2x+1 > 4x^4+4x^3+4x^2+4x+1[/mm]
[mm]x^2 > 2x[/mm] Dies gilt offensichtlich für alle negativen x ...
[mm]x*(x-2) > 0[/mm] ... und für alle x>2.
Somit bleiben alle x von 0 bis 2.
Die y lassen sich dann durch Einsetzen der x-Werte (von -1 bis 2) per pq-Formel errechnen.
Ich hoffe mal das stimmt 
MfG
Jan
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Hallo Stefan.
> > [mm]x = -n[/mm]
> > [mm]3n^2 - 4n +1 > 0[/mm]
> > [mm]n*(n-\bruch{4}{3}) + 1 > 0[/mm]
>
>
> Was machst du hier? Du musst doch jeden Summanden durch [mm]3[/mm]
> teilen?
Ja, das habe ich schlichtweg übersehen.
> > Für alle [mm]n > \bruch{4}{3}[/mm] (also für alle n>1)
>
> Warum folgt eine Sache, die für alle [mm]n> \bruch{4}{3}[/mm] gilt,
> insbesondere für [mm]n>1[/mm]? Das macht keinen Sinn.
Das habe ich wohl etwas unglücklich formuliert. n soll ja eine positive ganze Zahl sein. Für alle [mm]n \ge 2[/mm] trifft die Ungleichung zu. Somit bleibt noch [mm]n=1[/mm] ([mm]x=-1[/mm]). Ist das so korrekt?
> Bis auf die Flüchtigkeitsfehler eine sehr gute Leistung!! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Danke!
MfG
Jan
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![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
![[lehrerin]](/images/smileys/lehrerin.gif "[lehrerin]"){kind=small}
:
![[director]](/images/smileys/director.gif "[director]"){kind=small}
Hanno??!!
![[schleimer]](/images/smileys/schleimer.gif "[schleimer]"){kind=small}
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, wenn ich dich da falsch verstanden hatte.
