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| Aufgabe | Finden Sie alle ganzen Funktionen f : [mm] \IC \Rightarrow \IC, [/mm] die folgende Bedingung erfüllen:
Für jedes x [mm] \in [/mm] R>0 gilt f(x) [mm] \in [/mm] R>0 und
[mm] f(\bruch{x}{2})= \wurzel[2]{f(x)} [/mm] |
Kann mir jemand erklären, wie ich an solche Aufgaben herangehen soll?
Ich weiß, dass ganze Funktionen holomorph auf ganz [mm] \IC [/mm] sein müssen und das somit die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten müssen.
Mein Ansatz wäre
[mm] f(\bruch{x}{2})= \wurzel[2]{f(x)} [/mm] in f(x)= [mm] \wurzel[2]{f(2x)}
[/mm]
umzuformen. wäre das in Ordnung?
Mehr fällt mir dazu nicht ein.. die C-R-DG kann ich hier doch nicht anwenden oder? Ich habe ja keine konkrekte Funktion gegeben..
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Finden Sie alle ganzen Funktionen f : [mm]\IC \Rightarrow \IC,[/mm]
> die folgende Bedingung erfüllen:
> Für jedes x [mm]\in[/mm] R>0 gilt f(x) [mm]\in[/mm] R>0 und
> [mm]f(\bruch{x}{2})= \wurzel[2]{f(x)}[/mm]
> Mein Ansatz wäre
> [mm]f(\bruch{x}{2})= \wurzel[2]{f(x)}[/mm] in f(x)= [mm]\wurzel[2]{f(2x)}[/mm]
> umzuformen. wäre das in Ordnung?
Hallo Christiena,
wir haben also folgenden Zusammenhang zwischen
einem x-Wert und dem entsprechenden y-Wert y=f(x) :
x halbieren -----> aus y die Quadratwurzel ziehen
x verdoppeln -----> y quadrieren
falls dies etwas verallgemeinert auch noch gelten würde:
x mit einem Faktor a multiplizieren -----> y mit dem Exponenten a potenzieren
diese Idee sollte auch in dir gewisse Assoziationen
wecken, die wenigstens zu einer ersten möglichen
Lösung führen sollten.
LG Al-Chw.
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... also die Exponentialfunktion erfüllt die Anforderungen.
Sei f(x):= exp(x)
--> [mm] \wurzel{f(x)} [/mm] = [mm] \wurzel{exp(x)} [/mm] = [mm] exp(x)^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] exp(\bruch{x}{2}) [/mm] = [mm] f(\bruch{x}{2})
[/mm]
Allgemeiner gilt, dass auch g(x)= exp(ax) die Bedingung erfüllt.
... und wie geht es jetzt weiter? Wie komme ich auf weitere Funktionen? Bzw. Wie weiß ich, ob es noch welche gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 29.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ... also die Exponentialfunktion erfüllt die
> Anforderungen.
> Sei f(x):= exp(x)
> --> [mm]\wurzel{f(x)}[/mm] = [mm]\wurzel{exp(x)}[/mm] =
> [mm]exp(x)^{\bruch{1}{2}}[/mm] = [mm]exp(\bruch{x}{2})[/mm] =
> [mm]f(\bruch{x}{2})[/mm]
>
> Allgemeiner gilt, dass auch g(x)= exp(ax) die Bedingung
> erfüllt.
Aber nur für reelle Konstanten a.
> ... und wie geht es jetzt weiter? Wie komme ich auf weitere
> Funktionen? Bzw. Wie weiß ich, ob es noch welche gibt?
Wie wäre folgende Überlegung: Da f eine Ganze Funktion ist, gibt es eine in ganz [mm] $\IC$ [/mm] konvergente Potenzreihenentwicklung
[mm] f(z) = \summe_{n=0}^\infty a_n z^n [/mm] .
Setze diese in die Identität [mm] f(x)^2 = f(2x) [/mm] ein und benutze das Cauchyprodukt für Reihen:
[mm] \left(\summe_{n=0}^\infty a_n x^n\right)^2 = \summe_{n=0}^\infty a_n (2x)^n [/mm]
oder:
[mm] \summe_{n=0}^\infty \left(\summe_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right) x^n = \summe_{n=0}^\infty 2^n a_n x^n [/mm] .
Das heisst:
[mm] \summe_{k=0}^n a_k a_{n-k} = 2^n a_n [/mm] für alle n .
Das ist eine Rekursionsgleichung für die Koeffizienten [mm] $a_n$.
[/mm]
Für n=0 ergibt sich [mm] $a_0^2=a_0$, [/mm] also [mm] $a_0=0$ [/mm] oder [mm] $a_0=1$ [/mm] . Aus [mm] $a_0=0$ [/mm] folgt durch Einsetzen, dass alle [mm] $a_n$ [/mm] 0 sein müssen; dann wäre f identisch 0. Also ist [mm] $a_0=1$ [/mm] .
Für n=1 bekomsmt du die Gleichung [mm] $a_1(a_0-1)=0$, [/mm] das heisst, [mm] $a_1$ [/mm] ist frei wählbar. Alle weiteren [mm] $a_n$ [/mm] lassen sich durch [mm] $a_1$ [/mm] ausdrücken.
Rechne mal die ersten paar [mm] $a_n$ [/mm] aus, und du wirst sehen, dass es eine einfache explizite Form für die [mm] $a_n$ [/mm] gibt.
Viele Grüße
Rainer
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Die Überlegung gefällt mir :)
Also ich habe das mal nachgerechnet und komme zu dem Ergebnis, dass alle "Funktionen" f(x):= [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i!}z^{i} [/mm] die Bedingungen erfüllen. Das sind jetzt auch wirklich alle oder?
Was ist mit den Reihen, die nicht um 0 sondern um zb 1 entwickelt wurden? Macht das keinen Unterschied?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Diese Frage beantwortet auch der Identitätssatz für ganze Funktionen.
viel Erfolg,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 29.09.2011 | | Autor: | Helbig |
Hilfreich ist hier auch ein Satz, nachdem die ganze Funktionen [mm]f[/mm] schon durch die Funktionswerte bei den Gliedern einer konvergenten Folge eindeutig bestimmt ist. Du mußt also nur eine konvergente Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] finden und ein ganze Funktion $g$ mit [mm] $f(a_n)=g(a_n)$.
[/mm]
Dann ist nach dem Satz $f=g$.
viel Erfolg,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Fr 30.09.2011 | | Autor: | Christiena |
hmm ... hier weiß ich ehrlich gesagt nicht, wie mir das helfen soll.. ich habe ja f nicht gegeben.. also kann ich auch keine Funktionswerte ausrechnen..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Es ist doch [mm] $f(1/2)=f(1)^{1/2},\;f(1/4)=f(1/2)^{1/2}=\left(f(1)^{1/2}\right)^{1/2}=f(1)^{1/4}$ [/mm] usw.
Damit hast Du schon mal die Werte auf der Folge [mm] (2^{-n}). [/mm] Und jetzt mußt Du nur eine bekannte ganze Funktion finden, die dieselben Werte auf dieser Folge annimmt. Und diese ist nach dem Satz dann gleich $f$.
OK?
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| Aufgabe | 1
Finden Sie alle ganzen Funktionen f : [mm] \IC \Rightarrow \IC, [/mm] die folgende Abschätzung erfüllen:
|f(z)| [mm] \le e^{Re(z)}
[/mm]
2
Finden Sie alle positiven harmonischen Funktionen auf [mm] \IC. [/mm] |
Hier sind noch 2 Aufgaben von ähnlicher Art. Ich habe mir zuerst wieder Funktionen gesucht, die die Bedingungen erfüllen.
Zu 1)
f : [mm] \IC \Rightarrow \IC,
[/mm]
f(z):= [mm] a^{x} [/mm] mit |a| [mm] \le [/mm] |e|
zu 2)
Verschiedenste Fkt.
u : [mm] \IR \Rightarrow \IR,
[/mm]
u(x,y) = ax , u(x,y)= by, [mm] u(x,y)=a(x^{2}-y^{2})
[/mm]
Aber wie beweise ich, dass es keine weiteren Fkt gibt? Bzw. wie finde ich alle?
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Do 29.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Bitte beginne für neue Fragen immer einen neuen Thread.
> 1
> Finden Sie alle ganzen Funktionen f : [mm]\IC \Rightarrow \IC,[/mm]
> die folgende Abschätzung erfüllen:
> [mm]|f(z)| \le e^{Re(z)}[/mm]
>
> 2
> Finden Sie alle positiven harmonischen Funktionen auf
> [mm]\IC.[/mm]
>
> Hier sind noch 2 Aufgaben von ähnlicher Art. Ich habe mir
> zuerst wieder Funktionen gesucht, die die Bedingungen
> erfüllen.
>
> Zu 1)
>
> f : [mm]\IC \Rightarrow \IC,[/mm]
> f(z):= [mm]a^{x}[/mm] mit |a| [mm]\le[/mm] |e|
Richtig. Aber wie du selbst schreibst, sagt dir das nicht, ob du alle gesuchten Funktionen hast. Daher folgende Überlegungen:
[mm] e^{Re(z)} = |e^{Re(z)}| [/mm],
[mm] |e^{z}| = |e^{Re(z)} e^{i\,Im(z)}| = |e^{Re(z)}|*|e^{i\,Im(z)}| = |e^{Re(z)}| [/mm]
und daher
[mm] |f(z)| \le e^{Re(z)} \gdw \left|\bruch{f(z)}{e^{z}}\right| \le 1 [/mm] .
>
> zu 2)
> Verschiedenste Fkt.
> u : [mm]\IR \Rightarrow \IR,[/mm]
> u(x,y) = ax , u(x,y)= by,
> [mm]u(x,y)=a(x^{2}-y^{2})[/mm]
Harmonische Funktionen auf [mm] $\IC$ [/mm] sind Real- oder Imaginärteil einer ganzen Funktion. Du musst also ganze Funktionen f suchen, deren Realteil positiv ist. (Der Imaginärteil bringt nichts Neues, weil $i*f$ auch eine ganze Funktion ist.)
Viele Grüße
Rainer
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> >
> > Zu 1)
> >
> > f : [mm]\IC \Rightarrow \IC,[/mm]
> > f(z):= [mm]a^{x}[/mm] mit |a| [mm]\le[/mm]
> |e|
>
> Richtig. Aber wie du selbst schreibst, sagt dir das nicht,
> ob du alle gesuchten Funktionen hast. Daher folgende
> Überlegungen:
>
> [mm]e^{Re(z)} = |e^{Re(z)}| [/mm],
>
> [mm]|e^{z}| = |e^{Re(z)} e^{i\,Im(z)}| = |e^{Re(z)}|*|e^{i\,Im(z)}| = |e^{Re(z)}|[/mm]
>
> und daher
>
> [mm]|f(z)| \le e^{Re(z)} \gdw \left|\bruch{f(z)}{e^{z}}\right| \le 1[/mm]
Also, demnach brauche ich eine Funktion, die für alle z-Werte unterhalb der bekannten reellen e-Kurve bleibt. Das wird doch nur von Funktionen der Form f(x):= [mm] a^{z} [/mm] mit [mm] |a|\le [/mm] |e| erfüllt. Somit sind die Funktionen mit dieser Form die einzigen, die die Bedingungen erfüllen?!
> .
>
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> >
> > zu 2)
> > Verschiedenste Fkt.
> > u : [mm]\IR \Rightarrow \IR,[/mm]
> > u(x,y) = ax , u(x,y)= by,
> > [mm]u(x,y)=a(x^{2}-y^{2})[/mm]
>
> Harmonische Funktionen auf [mm]\IC[/mm] sind Real- oder
> Imaginärteil einer ganzen Funktion. Du musst also ganze
> Funktionen f suchen, deren Realteil positiv ist. (Der
> Imaginärteil bringt nichts Neues, weil [mm]i*f[/mm] auch eine ganze
> Funktion ist.)
>
> Viele Grüße
> Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Sa 01.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hier hilft der Satz von Liouville weiter...
viel Erfolg,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:14 Fr 30.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
hier noch eine andere Idee:
Da $f(x) > 0$ für reelle positive x, ist
[mm] g(x) := \ln f(x) [/mm] für [mm] $x\in\IR$, [/mm] $x>0$
eine wohldefinierte, stetig diff'bare Funktion. Aus [mm] $f(x/2)^2 [/mm] =f(x)$ folgt
[mm] 2g(x/2) = g(x) \implies g'(x/2) = g'(x) [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] $x>0$ .
Überlege dir, ob es eine nicht konstante stetige Funktion $g'$ geben kann, die diese Bedingung erfüllt.
Viele Grüße
Rainer
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