Fixgeradenbestimmung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die Fixgerade von .... |
Schönen Abend alle zusammen,
ich habe einige allgemeine Fragen zu Fixgeraden und zur Fixgeradenbestimmung, deswegen habe ich auch keine konkrete Aufgabenstellung aufgeschriben, alsoo:
1.) Kann eine Abbildung eine Fixgerade und eine Fixpunktgerade gleichzeitig haben?
2.)Ist eine Scherungsachse eine Fixgerade oder eine Fixpunktgerade?
3.) Ich verstehe nicht, wann ich einfach sagen kann, die Eigenvektoren sind die Richtungsvektoren der Fixgerade von der Abbildung und wann ich die Formel [mm] A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{u} [/mm] anwenden muss. Ich dachte vorher immer, dass ich Eigenvektor=Richtungsvektoe setzen kann, wenn es eine Ursprungsgerade ist. Jedoch habe ich gerade eine Aufgabe gelöst, wo der Ursprung verschoben war und aber der Eigenvektor= der Richtungsvektor der Fixgeraden war. Dann habe ich es mit der oben erwähnten Formel berechnet und bin auf 0=0 gekommen, was meienr meinung nach eine Fixpunktgerade bedeutet.
Das verwirrt mich alles ...!!!
Wäre dankbar für jede mögliche Hilfe :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> 1.) Kann eine Abbildung eine Fixgerade und eine
> Fixpunktgerade gleichzeitig haben?
[mm] $(x,y)\to(2x,y)$?
[/mm]
> 2.)Ist eine Scherungsachse eine Fixgerade oder eine
> Fixpunktgerade?
Was genau ist denn eine Scherungsachse?
> 3.) Ich verstehe nicht, wann ich einfach sagen kann, die
> Eigenvektoren sind die Richtungsvektoren der Fixgerade von
> der Abbildung und wann ich die Formel
> [mm]A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{u}[/mm] anwenden muss. Ich dachte
Eine Gerade ist Aufhänger + k* Richtungsvektor.
Die Richtungsvektoren sind die Eigenvektoren, die Formel liefert Dir die zulässigen Aufhänger p zu einem gegebenen Richtungsvektor u
Das hatte ich Dir in meiner letzten Antwort wortwörtlich schon so hingeschrieben. Ich hab sogar hergeleitet, wie man auf die Formel kommt. Wenn Du Dir das durchlesen würdest und dann schreibst, was Du nicht verstehst, könnten wir darüber reden.
> Formel berechnet und bin auf 0=0 gekommen, was meienr
Das heißt nur, daß p beliebig ist, hatten wir auch schon in der letzten Antwort.
Fixgerade heißt, daß für jedes $ [mm] k\in\IR [/mm] $ gilt:
$ A(p+kv) + c = [mm] p+tv\, [/mm] $
Wie sieht denn die Bedingung für eine Fixpunktgerade aus?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Was genau ist denn eine Scherungsachse?
eine Fixpunktgerade?!
> Eine Gerade ist Aufhänger + k* Richtungsvektor.
Aufhänger ist wohl=Stützvektor?
> Die Richtungsvektoren sind die Eigenvektoren, die Formel
> liefert Dir die zulässigen Aufhänger p zu einem gegebenen
> Richtungsvektor u
Also die Stützvektoren p von der Fixgeraden? wir haben aber nach p2 umgeformt und gesagt, dass das jetzt die Fixgerade ist, z. B
p2=p1-0,5...was für eine Stützvektor wäre es dann?
> Das hatte ich Dir in meiner letzten Antwort wortwörtlich
> schon so hingeschrieben. Ich hab sogar hergeleitet, wie man
> auf die Formel kommt. Wenn Du Dir das durchlesen würdest
> und dann schreibst, was Du nicht verstehst, könnten wir
> darüber reden.
Ja, stimmt du hast ja recht, aber ich bin total verwirrt in bezug auf fixgeraden (außerdem ich lese die antworten, aber daran kann man vielleciht sehen, dass ich im mom so verwirrt bin und sogar das was ich verstanden habe, nicht mehr verstehe...) aaalso mein problem ist: wenn ich jetzt eine Fixgerade bestimmen soll, berechne ich erst die Eigenvektoren und sage die Fixgerade ist [mm] \vec{a}=t* [/mm] Eigenvektor. Kann ich das so hinschreiben, ohne die Formel [mm] A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{e} [/mm] anzuwenden?? denn der Ursprung ist ja immer ein Fixpunkt...würde ich damit nicht alle fixgeraden erfasst haben, ohne die Formel?
denn die formel verwirrt mich, da kriege ich dann so ein komisches Egrbnis wie p2=1 oder so raus und dann weiß ich nicht wie ich es deuten soll i bezug auf die Eigenvektoren; ob jetzt die Eigenvektoren die Fixgerade bilden oder p2=1 ....
> Wie sieht denn die Bedingung für eine Fixpunktgerade aus?
|A-E|=0, wobei als Lösung unendlich viele Lösungen rauskommen muss.
> ciao
> Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> > Was genau ist denn eine Scherungsachse?
> eine Fixpunktgerade?!
Was ist denn die Definition einer Scherungsachse. Was *heißt* denn Scherungsachse? Dann können wir darüber rede, ob es die Definitionen von Fixgerade oder Fixpunktgerade erfüllt.
> > Eine Gerade ist Aufhänger + k* Richtungsvektor.
> Aufhänger ist wohl=Stützvektor?
Ja.
> Ja, stimmt du hast ja recht, aber ich bin total verwirrt
> in bezug auf fixgeraden (außerdem ich lese die antworten,
> aber daran kann man vielleciht sehen, dass ich im mom so
> verwirrt bin und sogar das was ich verstanden habe, nicht
> mehr verstehe...) aaalso mein problem ist: wenn ich jetzt
> eine Fixgerade bestimmen soll, berechne ich erst die
> Eigenvektoren und sage die Fixgerade ist [mm]\vec{a}=t*[/mm]
> Eigenvektor. Kann ich das so hinschreiben, ohne die Formel
Nein!
Eine Gerade ist Aufhänger + k* Richtungsvektor.
Die Eigenvektoren sind zulässige Richtungsvektoren. Du brauchst noch zulässige Aufhänger.
> [mm]A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{e}[/mm] anzuwenden?? denn der
> Ursprung ist ja immer ein Fixpunkt...würde ich damit nicht
Wenn [mm] $c=\pmat{1\\ 1}$ [/mm] dann ist 0 plötzlich kein Fixpunkt mehr:
[mm] $A*\pmat{0\\0}+\pmat{1\\ 1}=\pmat{1\\ 1}$
[/mm]
Also nochmal:
Du gehst das jetzt Zeile für Zeile durch und sagst mir dann, wo etwas unklar ist.
Sei $ p+kv $ eine Fixgerade. p ist der Aufhänger, v der Richtungsvektor, k eine Zahl.
Fixgerade heißt, daß für jedes $ [mm] k\in\IR [/mm] $ gilt:
$ A(p+kv) + c = [mm] p+tv\, [/mm] $
für irgendein $ [mm] t\in\IR [/mm] $. D.h. jeder Punkt auf der Fixgeraden (deswegen für jedes k) wird auf irgendeinen (deswegen beliebiges t) Punkt der Fixgeraden abgebildet
Umstellen führt zu
$ Ap+c-p = [mm] tv-kAv\, [/mm] $
Die linke Seite ist konstant. A und c sind ja vorgegeben und die Fixgerade haben wir fest gewählt. Also muß auch die rechte Seite ein konstanter Vektor sein.
$ [mm] tv-kAv=\text{konst} [/mm] $ (konstant heißt hier, daß wenn ich das k ändere, ich das t so ändern kann, daß wieder das gleiche wie vorher rauskommt)
D.h. Av muß ein Vielfaches von v sein (wieso?), ergo ist v ein Eigenvektor. Also ist der Richtungsvektor jeder Fixgeraden ein Eigenvektor von A.
Sei also $ [mm] v=e_\lambda [/mm] $, d.h. ein Eigenvektor von A zum Eigenwert $ [mm] \lambda [/mm] $.
Also:
$ Ap+c-p = [mm] tv-kAv=te_\lambda-kAe_\lambda=(t-k\lambda)e_\lambda [/mm] $
weil t beliebig ist, ist auch $ [mm] (t-k\lambda) [/mm] $ beliebig.
$ Ap+c-p = [mm] te_\lambda [/mm] $
Und da kommt Deine Formel her, die Dir zu einem zulässigen Richtungsvektor (d.h. dem Eigenvektor auf der rechten Seite) alle möglichen Aufhänger liefert.
> alle fixgeraden erfasst haben, ohne die Formel?
> denn die formel verwirrt mich, da kriege ich dann so ein
> komisches Egrbnis wie p2=1 oder so raus und dann weiß ich
Jedes p, das die Gleichung erfüllt ist ein zulässiger Aufhänger, mit dem Eigenvektor, den Du in der Formel als Richtungsvektor.
> > Wie sieht denn die Bedingung für eine Fixpunktgerade aus?
> |A-E|=0, wobei als Lösung unendlich viele Lösungen
> rauskommen muss.
Was sollen die Betragsstriche sein? Irgendeine Norm?
Und reden wir jetzt über affine Abbildungen vom Typ $Ax+c$ oder lineare Abb, d.h. $Ax$? Deine Formel hatte die Verschiebung drinnen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hi,
> Was ist denn die Definition einer Scherungsachse. Was
> *heißt* denn Scherungsachse? Dann können wir darüber
> rede, ob es die Definitionen von Fixgerade oder
> Fixpunktgerade erfüllt.
Ja also, an der Scherungsachse wird das Abbilden ausgeführt. so wie wenn ich jetzt einen punkt an der x-achse spiegeln würde.
> Nein!
Genauso wollte ich es hören :)
> Die Eigenvektoren sind zulässige Richtungsvektoren. Du
> brauchst noch zulässige Aufhänger.
> Jedes p, das die Gleichung erfüllt ist ein zulässiger
> Aufhänger, mit dem Eigenvektor, den Du in der Formel als
> Richtungsvektor.
ok.soweit so gut. verstanden.
> Was sollen die Betragsstriche sein? Irgendeine Norm?
Das soll zeigen, dass ich erst A-E rechne und dann die Determinante davon rechne. wenn dort das ergebnis = 0 ist, dann gibt es entweder eine Fixpunktgerade oder nicht. es sind 2 möglichkeiten angegeben. kommt halt auf die Lösung des LGS an.
> Und reden wir jetzt über affine Abbildungen vom Typ [mm]Ax+c[/mm]
> oder lineare Abb, d.h. [mm]Ax[/mm]? Deine Formel hatte die
> Verschiebung drinnen.
beides ist möglich. das könnten wir vielleicht auch differenzieren. wenn ich jetzt eine lineare abbildung habe, weiß ich ja, dass der Ursprung der einzige Fixpunkt ist, sodass die rechnung mit der Formel [mm] (A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{e}) [/mm] sinnlos ist, weil ich ja das ergebnis mit dem Eigenvektor hätte oder ? das war auch so etwas, was ich mich gefragt hatte. bei der affinen abbildung vom typ [mm]Ax+c[/mm], weiß ich es ja jetzt, wie ich die fixgerade berechne (dank deiner Geduld :)))
> ciao
> Stefan
ciao Powerranger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Do 16.09.2010 | | Autor: | Blech |
> > Hi,
>
> > Was ist denn die Definition einer Scherungsachse. Was
> > *heißt* denn Scherungsachse? Dann können wir darüber
> > rede, ob es die Definitionen von Fixgerade oder
> > Fixpunktgerade erfüllt.
> Ja also, an der Scherungsachse wird das Abbilden
> ausgeführt. so wie wenn ich jetzt einen punkt an der
> x-achse spiegeln würde.
Ich kann mir bildlich vorstellen, wie Prof. Dr. Dr. Soundso in der Vorlesung an die Tafel schreibt
Definition 3.25 (Scherungsachse)
Ja also, an der Scherungsachse wird das Abbilden ausgeführt. so wie wenn ich jetzt einen punkt an der x-achse spiegeln würde.
=)
Wenn Du keine sauberen Definitionen von Scherungsachse, etc. hast, wie willst Du dann wissen, ob etwas, was die eine Definition erfüllt, auch die anderen erfüllt?
> > Was sollen die Betragsstriche sein? Irgendeine Norm?
> Das soll zeigen, dass ich erst A-E rechne und dann die
> Determinante davon rechne. wenn dort das ergebnis = 0 ist,
Sorry, an Determinante hatte ich nicht gedacht.
Machen wir lieber die direkte Methode: $p+kv$ ist Fixpunktgerade, wenn für jedes [mm] $k\in\IR$ [/mm] gilt
$A(p+kv)+c=p+kv$
jetzt kann man wie in der anderen Herleitung weiterrechnen, man muß nur aufpassen, daß das (beliebige) t durch das vorgegebene k ersetzt wurde.
> beides ist möglich. das könnten wir vielleicht auch
> differenzieren. wenn ich jetzt eine lineare abbildung habe,
> weiß ich ja, dass der Ursprung der einzige Fixpunkt ist,
Nein! A=E, schon ist jeder Punkt ein Fixpunkt.
> sodass die rechnung mit der Formel
> [mm](A\vec{p}+\vec{c}-\vec{p}=t\vec{e})[/mm] sinnlos ist, weil ich
> ja das ergebnis mit dem Eigenvektor hätte oder ? das war
?? Was ist das "Ergebnis mit dem Eigenvektor"?
Aber allgemein: Nein! =P
Die andere Antwort, aus der ich gerade den Beweis reinkopiert hab, hat ja auch von linearen Abbildungen gehandelt und wir haben die Formel gebraucht.
> auch so etwas, was ich mich gefragt hatte. bei der affinen
> abbildung vom typ [mm]Ax+c[/mm], weiß ich es ja jetzt, wie ich die
> fixgerade berechne (dank deiner Geduld :)))
Wenn Du es wüßtest, wären wir fertig, weil Ax auch eine affine Abb vom Typ Ax+c ist. c ist nur 0. =)
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Ja, tut mir leid,wenn mir keine saubere definition beigebracht wird, dann kann ich sie auch nicht in mathematisch höchstqualifizierter Sprache wiedergeben!
Naja, lassen wir es bevor du mich hier noch löschst, weil ich dir auf die nerven gehe =)
Danke für die Mühen; hoffentlich werden meine und deine Mühen mit einer guten Note in der klausur belohnt
Guet Nacht noch!
|
|
|
|
