Fixpunkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Tina |
Hallo zusammen,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe. Bei eine Analysisaufgabe weiß ich nicht wie ich da anfangen sollte.
Die Aufgabenstellung lautet:
Seien [mm]a,b\in \IR [/mm] mit a<b und f:D-->D stetig. Zeigen sie, dass f einen Fixpunkt hat, d.h. dass ein [mm]x\in D[/mm] existirt mit f(x)=x.
Hättet ihr für mich einen tipp wie ich vorgehen sollte.
Danke schon im vorraus Tina.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Tina,
bist du sicher, dass das die komplette Aufgabenstellung ist und du uns nicht etwas verschweigst?
Zum Beispiel: Inwiefern fließen denn a und b in den Satz ein?
Und was ist D?
So, wie der Satz da steht, ist er sicher falsch, dann hätte ja jede stetige Funktion einen Fixpunkt (Gegenbeispiel: f(x)=x+1: stetig, aber kein Fixpunkt).
Bitte schaue doch noch mal in der Aufgabenstellung nach.
Bis dann,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Ich scheine wohl auch in ihrer Vorlesung zu sein.....
Die Aufgabe ist [mm]f: D \to D[/mm] stetig.
[mm]D=[a,b] a
Nun soll man zeigen, dass f einen Fixpunkt hat....
Müsste die Funktion dafür nicht auch monton sein???
Ich habe gerade das gefühl, dass da ein Fehler in der Aufgabe ist...
Bis dann,
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Tina und Alexis,
> Ich scheine wohl auch in ihrer Vorlesung zu sein.....
Nicht nur du, würde ich sagen 
> Die Aufgabe ist [mm]f: D \to D[/mm] stetig.
>
> [mm]D=[a,b] a
>
> Nun soll man zeigen, dass f einen Fixpunkt hat....
>
> Müsste die Funktion dafür nicht auch monton sein???
Selbst das reicht nicht als alleinige Voraussetzung (altes Gegenbeispiel: f(x)=x+1: Ist (streng) monoton, stetig, hat aber keinen Fixpunkt). (korrigiert, das war Unsinn, wie sich später im Thread ergibt)
Man bräuchte noch sowas wie "stark kontrahierend", dann hätte sie einen Fixpunkt nach dem Banachschen Fixpunktsatz. Diese Begriffe hattet Ihr aber noch nicht in der Vorlesung, oder?
-marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Alexis |
Ich habe aber in einem Buch gefunden, dass wenn ein Funktion [mm]f: [a,b] \to [a,b] [/mm] und wachsend (oder fallend, ist egal) ist, kann definiert man sich die Iterationsfolge [mm] x_{n+1}:=f(x_n)[/mm] für n=1,2,... mit beliebigem [mm] x_0 \in [a,b][/mm],
so strebt [mm]x_n[/mm] monoton gegen einen Fixpunkt von f.
Dann müssten die Bedingungen der Aufgabe, mit dem Zusatz, dass f monoton ist doch ausreichen, oder nicht?
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
> Ich habe aber in einem Buch gefunden, dass wenn ein
> Funktion [mm]f: [a,b] \to [a,b][/mm] und wachsend (oder fallend, ist
> egal) ist, kann definiert man sich die Iterationsfolge
> [mm]x_{n+1}:=f(x_n)[/mm] für n=1,2,... mit beliebigem [mm]x_0 \in [a,b][/mm],
>
> so strebt [mm]x_n[/mm] monoton gegen einen Fixpunkt von f.
Moment, ja, du hast recht, ich habe das Intervall übersehen (mein altes Gegenbeispiel ist dann natürlich Quatsch, da der Bildbereich nicht stimmt).
Wenn [mm] f: [a,b] \to [a,b] [/mm] monoton wachsend ist, dann hat f einen Fixpunkt.
Wenn [mm] f: [a,b] \to [a,b] [/mm] monoton fallend ist, dann hat f i.a. keinen Fixpunkt.
Wenn [mm] f: [a,b] \to [a,b] [/mm] stetig und monoton (wachsend oder fallend) ist, dann hat f einen Fixpunkt.
Aber nur für den Fall f stetig und monton wachsend konvergiert deine Iterationsfolge gegen den Fixpunkt, für den Fall stetig/monoton fallend nicht!
> Dann müssten die Bedingungen der Aufgabe, mit dem Zusatz,
> dass f monoton ist doch ausreichen, oder nicht?
Ja, und der Angabe, dass [mm] D=[a,b] [/mm] müßte die Aussage stimmen und sich beweisen lassen.
Mir gefällt aber noch nicht, dass wir die Aufgabenstellung ergänzen müssen, damit sie Sinn macht. Vielleicht habe ich da noch etwas übersehen? Was meinst du, Stefan?
-marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen,
die Aussage ist auch so richtig (ohne monoton). Sie ist auch für höhere Dimensionen richtig (stetige Funktionen vom Einheitsball in den Einheitsball haben einen Fixpunkt) und dort unter dem Namen Brouwerscher Fixpunktsatz bekannt. Für den Fall [mm]d \ge 2[/mm] benötigt man Kenntnisse aus der Topologie, der Fall [mm]d=1[/mm], den wir hier betrachten, ist aber zum Glück auch elementar mit Analysis I-Methoden zu lösen.
Wegen [mm]f( D) \subset D[/mm] offenbar
(*) [mm]f(a) \ge a[/mm] und [mm]f(b) \le b[/mm].
Wir definieren uns dazu eine Hilfsfunktion:
[mm] g : D \to \IR[/mm]
durch
[mm]g(x):= f(x)-x[/mm].
Diese Funktion ist als Differenz zweier stetiger Funktionen stetig und erfüllt wegen (*) die Beziehungen:
[mm]g(a) \ge 0[/mm] und [mm]g(b) \le 0[/mm].
Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen existiert also ein [mm]x_0 \in D=[a,b][/mm] mit
[mm]g(x_0)=0[/mm],
also mit
[mm]f(x_0) = x_0[/mm].
Verstanden?
Alles Gute
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> Verstanden?
Ich jetzt ja  , diesen Satz kannte ich noch nicht
Trotzdem konvergiert Alexis' Iterationsfolge doch nur gegen des Fixpunkt, falls f stetig und monoton wachsend ist, oder?
Danke, Stefan.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
> Trotzdem konvergiert Alexis' Iterationsfolge doch nur gegen
> des Fixpunkt, falls f stetig und monoton wachsend ist,
> oder?
Zumindestens sehe ich ansonsten nicht, warum sie es notwendigerweise tun sollte.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Tina |
Hallo Stefan, Marc und Alexis
Ja es stimmte, das noch D=[a,b] fehlte. Danke Alexis, dass du das vebessert hast.
Tut mir leid dass ich mich erst jetzt melde aber ich konnte nicht früher online gehen.
Also danke für die Hilfe. Diesen Beweis muss ich mir mal gleich anschauen. Wenn ich noch Fragen habe melde ich mich noch
Tina.
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