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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Fr 16.05.2014 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] g(x)=\bruch{1}{2}*x^{2}-12 [/mm] genau zwei Fixpunkte hat. Sind die Fixpunkte anziehend oder abstoßend? Kann man sie mit Hilfe des Iterationsverfahrens [mm] x_{k+1}=g(x_{k}) [/mm] berechnen? |
Hallo Leute,
also das mit den Fixpunkten habe ich noch nicht so ganz verstanden. Als erstes soll gezeigt werden, dass es genau zwei Fixpunkte gibt. Also muss man sich als erstes nicht ein Intervall festlegen, in dem die Fixpunkte enthalten sind?
Wenn ja, dann würde sich ja das Intervall ]-5,5[ anbieten richtig? Man sollte sich doch ein Intervall überlegen, in dem die Nullstellen sind, denke ich.
So wenn man nun das Intervall hat, dann leitet man g(x) ab, also: g'(x)=x.
Kann mir jemand erklären wie es weiter geht? Setzt man nun die Intervallgrenzen ein?
Danke schon mal im Voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:39 Fr 16.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo David,
> Zeige, dass die Funktion g: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
> [mm]g(x)=\bruch{1}{2}*x^{2}-12[/mm] genau zwei Fixpunkte hat. Sind
> die Fixpunkte anziehend oder abstoßend? Kann man sie mit
> Hilfe des Iterationsverfahrens [mm]x_{k+1}=g(x_{k})[/mm] berechnen?
> Hallo Leute,
>
> also das mit den Fixpunkten habe ich noch nicht so ganz
> verstanden. Als erstes soll gezeigt werden, dass es genau
> zwei Fixpunkte gibt. Also muss man sich als erstes nicht
> ein Intervall festlegen, in dem die Fixpunkte enthalten
> sind?
Wir wollen zunächst zeigen, dass die Abbildung
[mm] g\colon\IR\to\IR\colon x\mapsto\frac{1}{2}x^{2}-12
[/mm]
genau zwei Fixpunkte besitzt.
> Wenn ja, dann würde sich ja das Intervall ]-5,5[ anbieten richtig?
Was ist mit möglichen Fixpunkten außerhalb dieses Intervalls?
> Man sollte sich doch ein Intervall überlegen, in
> dem die Nullstellen sind, denke ich.
Ich glaube, dass du durcheinander gekommen bist.
[mm] x_1,x_2\in\IR,
[/mm]
wobei
[mm] x_1\not=x_2,
[/mm]
heißen Fixpunkte der Abbildung [mm] $g\$, [/mm] falls gilt:
[mm] g(x_1)=x_1
[/mm]
bzw.
[mm] g(x_2)=x_2.
[/mm]
> So wenn man nun das Intervall hat, dann leitet man g(x) ab,
> also: g'(x)=x.
Nein.
> Kann mir jemand erklären wie es weiter geht?
Siehe unten.
> Setzt man nun die Intervallgrenzen ein?
Das verstehe ich nicht.
Sei
[mm] f\colon[a,b]\subseteq\IR\to\IR
[/mm]
stetig differenzierbar, dann heißt
[mm] L:=\{x\in[a,b]:|f'(x)|<1\}
[/mm]
die anziehende Fixpunktmenge. Für die Fixpunktiteration
[mm] x_{i+1}=f(x_i) [/mm] für alle [mm] i\in\IN
[/mm]
gilt: Ist [mm] $x\in [/mm] L$, dann konvergiert [mm] x_i [/mm] gegen [mm] $x\$ [/mm] mit Startwert [mm] x_0
[/mm]
nahe genug an [mm] $x\$. [/mm] Ist [mm] $x\not\in [/mm] L$, dann konvergiert [mm] x_i [/mm] für keinen
Startwert [mm] x_0\not=x.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Fr 16.05.2014 | | Autor: | David90 |
Ok also wie zeige ich jetzt konkret an dem Beispiel, dass es genau 2 Punkte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gibt für die gilt [mm] g(x_1)=x_1 [/mm] und [mm] g(x_2)=x_2? [/mm] Ausprobieren und einsetzen? Denke eher nicht oder?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Fr 16.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok also wie zeige ich jetzt konkret an dem Beispiel, dass
> es genau 2 Punkte [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] gibt für die gilt [mm]g(x_1)=x_1[/mm]
> und [mm]g(x_2)=x_2?[/mm] Ausprobieren und einsetzen? Denke eher
> nicht oder?
x ist Fixpunkt von g [mm] \gdw [/mm] g(x)=x [mm] \gdw [/mm] $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}x^{2}-12 [/mm] =x$ [mm] \gdw x^2-2x-24=0.
[/mm]
Nun hat der Chinese Pe Qu eine Folmel entwickelt ......
FRED
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:35 Fr 16.05.2014 | | Autor: | David90 |
Sehr gut. Also wurde gezeigt, es gibt zwei Fixpunkte [mm] x_1=6 [/mm] und [mm] x_2=-4.
[/mm]
Jetzt muss untersucht werden, ob die Fixpunkte anziehend oder abstoßend sind. Muss man jetzt Grenzen a und b festlegen?
Oder reicht es zu sagen:
[mm] g'(x_1)=6 [/mm] >1, d.h. abstoßender Fixpunkt und
[mm] g'(x_2)=-4<1, [/mm] d.h. anziehender Fixpunkt?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Fr 16.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Sehr gut. Also wurde gezeigt, es gibt zwei Fixpunkte [mm]x_1=6[/mm]
> und [mm]x_2=-4.[/mm]
Ja.
> Jetzt muss untersucht werden, ob die Fixpunkte anziehend
> oder abstoßend sind. Muss man jetzt Grenzen a und b
> festlegen?
Was für Grenzen?
> Oder reicht es zu sagen:
> [mm]g'(x_1)=6[/mm] >1, d.h. abstoßender Fixpunkt und
> [mm]g'(x_2)=-4<1,[/mm] d.h. anziehender Fixpunkt?
Nein. Da fehlt was sehr wichtiges. Lies nochmal meine erste Antwort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 16.05.2014 | | Autor: | David90 |
Meinst du, dass ich noch sagen muss, dass g(x) stetig differenzierbar ist?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Fr 16.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Meinst du, dass ich noch sagen muss, dass g(x) stetig
> differenzierbar ist?
Nein. Stichwort: Betrag. Lies genauer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 16.05.2014 | | Autor: | David90 |
Oh natürlich.Sorry.
Also es ist:
[mm] |g'(x_1)|=6 [/mm] > 1 sowie [mm] |g'(x_2)|=4 [/mm] > 1 , d.h. es handelt sich bei [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] um abstoßende Fixpunkte.
Wie zeigt man jetzt am besten, ob man die Fixpunkte mit Hilfe von [mm] x_{k+1}=g(x_k) [/mm] berrechnen kann? Man braucht dafür einen Startwert aus dem Intervall in dem die Fixpunkte liegen oder?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Sa 17.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Oh natürlich.Sorry.
> Also es ist:
>
> [mm]|g'(x_1)|=6[/mm] > 1 sowie [mm]|g'(x_2)|=4[/mm] > 1 , d.h. es handelt
> sich bei [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] um abstoßende Fixpunkte.
Ja.
> Wie zeigt man jetzt am besten, ob man die Fixpunkte mit
> Hilfe von [mm]x_{k+1}=g(x_k)[/mm] berrechnen kann? Man braucht
> dafür einen Startwert aus dem Intervall in dem die
> Fixpunkte liegen oder?
Gib eine offensichtliche Fixpunktgleichung an und lies nochmal meine erste Antwort.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 18.05.2014 | | Autor: | David90 |
Also soll ich mir eine neue Funktion definieren ja? Aber es geht doch um die gegebene Funktion oder? Wie wärs mit [mm] f(x)=x^2. [/mm] Die hat die offensichtlichen Fixpunkte 0 und 1. Wie bringt mich das jetzt weiter?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Du kommst mit den Begriffen durcheinander.
Lies dir mal ![[]](/images/popup.gif) das hier durch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 18.05.2014 | | Autor: | David90 |
Ich verzweifel an diesem Thema...muss die Funnktion die ich mir aussuche durch äqivalentes Umformen der gegebenen Funktion aufgestellt werden?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich verzweifel an diesem Thema...muss die Funnktion die ich
> mir aussuche durch äqivalentes Umformen der gegebenen
> Funktion aufgestellt werden?
Das dient dem Verständnis. Du bist eigentlich fertig, aber
hast wohl das Thema noch nicht so ganz verstanden.
Wir haben zwei abstoßende Fixpunkte.
Bei dir ist das Iterationsverfahren mit
[mm] x_{k+1}=g(x_k)
[/mm]
gegeben!
Nun kopiere ich meine Antwort aus dem ersten Post:
Sei
[mm] f\colon[a,b]\subseteq\IR\to\IR [/mm]
stetig differenzierbar, dann heißt
[mm] L:=\{x\in[a,b]:|f'(x)|<1\} [/mm]
die anziehende Fixpunktmenge. Für die Fixpunktiteration
[mm] x_{i+1}=f(x_i) [/mm] für alle [mm] i\in\IN [/mm]
gilt: Ist [mm] $x\in [/mm] L$, dann konvergiert [mm] x_i [/mm] gegen [mm] $x\$ [/mm] mit Startwert [mm] x_0 [/mm]
nahe genug an [mm] $x\$. [/mm] Ist [mm] $x\not\in [/mm] L$, dann konvergiert [mm] x_i [/mm] für keinen
Startwert [mm] x_0\not=x. [/mm]
Was heißt das nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 18.05.2014 | | Autor: | David90 |
Also ich soll überprüfen, ob [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] konvergieren, indem ich überprüfe, ob die in der Menge L enthalten sind? Das hängt doch aber von den Grenzen a und b ab...
(Meine Geduld wär schon lange überstrapaziert xD)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also ich soll überprüfen, ob [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] konvergieren,
> indem ich überprüfe, ob die in der Menge L enthalten
> sind?
Das haben wir doch bereits getan. Es gilt:
[mm] $x_1,x_2\not\in [/mm] L$.
> Das hängt doch aber von den Grenzen a und b ab...
Das hatten wir auch schon. Es gilt:
$g'(x)=x$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Ist nun
[mm] $|x|<1\$,
[/mm]
dann konvergiert [mm] x_i [/mm] gegen [mm] $x\$ [/mm] mit Startwert [mm] x_0 [/mm] nahe genug an [mm] $x\$.
[/mm]
Zur Kontrolle: Was ist $L$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 So 18.05.2014 | | Autor: | David90 |
Ok also Fazit ist man kann [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nicht mit dem Iterationsverfahren [mm] x_{k+1}=g(x_k) [/mm] berechnet werden, da gilt:
|6|>1
|4|>1 das heißt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] konvergieren gegen x mit dem Startwert [mm] x_0 [/mm] nicht nahe genug an x.
Naja L ist halt alles für das in den Grenzen a und b gilt: |x|<1.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 18.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ok also Fazit ist man kann [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nicht mit dem
> Iterationsverfahren [mm]x_{k+1}=g(x_k)[/mm] berechnet werden, da
> gilt:
> |6|>1
> |4|>1 das heißt [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] konvergieren gegen x mit dem
> Startwert [mm]x_0[/mm] nicht nahe genug an x.
> Naja L ist halt alles für das in den Grenzen a und b
> gilt: |x|<1.
Hier gilt:
[mm] [a,b]:=\IR.
[/mm]
Außerdem gilt:
[mm] $|g'(x)|=|x|\overset{!}{<}1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in(-1,1)=:L$.
[/mm]
Wegen
[mm] $x_1,x_2\not\in [/mm] L$
konvergiert [mm] x_i [/mm] für keinen Startwert [mm] x_0\not=x.
[/mm]
Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 18.05.2014 | | Autor: | David90 |
Ja:)
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