Fixpunkte < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Ist f: [-1,1] -> [-1,1] stetig, so hat f mindestens einen Fixpunkt, d.h. es existiert eine Zahl t* mit f(t*)=t*.
Hinweis: Benutzen Sie den Zwischenwertsatz von Darboux. |
Hallo, ich weiß leider nicht, wie ich anfangen soll. Soll f eine identische Abb. sein, oder kann ich dass so nicht annehmen?
Danke und Grüße,
Ben
Sooo, ich hab mich mal etwas bemüht:
Aus f([-1,1]) teilmenge von [-1,1] folgt:
f(-1)>=-1 und f(1)<=1
=> F(-1)=f(-1)+1 >=0 und F(1)=f(1)-1<=0
Nach dem Zwischenwertsatz von Darboux gibt es ein t in [-1,1], sodass F(t)=0
=> f(t*)=t*
Ist das so richtig?
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> Ist f: [-1,1] -> [-1,1] stetig, so hat f mindestens einen
> Fixpunkt, d.h. es existiert eine Zahl t* mit f(t*)=t*.
>
> Hinweis: Benutzen Sie den Zwischenwertsatz von Darboux.
> Hallo, ich weiß leider nicht, wie ich anfangen soll. Soll
> f eine identische Abb. sein, oder kann ich das so nicht
> annehmen?
>
> Danke und Grüße,
> Ben
Hallo Ben,
ich hab mir kurz den Satz von Darboux vorgeknöpft:
Satz von Darboux, Zwischenwertsatz für Ableitungen:
Sei f auf [a; b] differenzierbar und sei [mm] \blue{f'(a)\not=f'(b)} [/mm] .
Dann nimmt f'(x) in (a; b) jeden Wert zwischen
f'(a) und f'(b) an.
In deiner Aufgabe ist allerdings für die Funktion f
keine Differenzierbarkeit, sondern nur Stetigkeit
vorausgesetzt. Das heisst wohl, dass man den
Satz von Darboux (wenn denn wirklich dieser
Zwischenwertsatz angewendet werden soll !) nicht
für f, sondern für eine Stammfunktion F von f
anwenden soll.
Ich meine allerdings, dass der stinknormale
Zwischenwertsatz (ohne Darboux) den Dienst
auch tut, wenn man die Funktion g(x):=f(x)-x
und die Gleichung g(x)=0 betrachtet.
LG Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
betrachte g(t) = f(t) -t und berechne das Vorzeichen von g(1) und g(-1).
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
hi,
also ich hab da meine Probleme mit der Abbildung. Ich weiß doch gar nicht, wie die abbildet, eben nur von [-1,1]->[-1,1].
Wenn ich nun g(1)=f(1)-1 und g(-1)=f(-1)+1 betrachte..... Ehrlich gesagt sehe ich da nicht viel..
sry.
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> hi,
> also ich hab da meine Probleme mit der Abbildung. Ich weiß
> doch gar nicht, wie die abbildet, eben nur von
> [-1,1]->[-1,1].
>
> Wenn ich nun g(1)=f(1)-1 und g(-1)=f(-1)+1 betrachte.....
> Ehrlich gesagt sehe ich da nicht viel..
Da f(-1) zwischen -1 und +1 liegt, liegt g(-1)=f(-1)-1
zwischen -2 und 0, es gilt also [mm] g(-1)\le{0}. [/mm] Analog kann
man schließen, dass [mm] g(1)\ge{0} [/mm] sein muss.
Nach dem (gewöhnlichen) Zwischenwertsatz
kann man dann schließen, dass es wenigstens
ein t [mm] \in [/mm] [-1;1] geben muss mit g(t)=0.
LG Al-Chwarizmi
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