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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion [mm] \phi: \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] \phi(x):=x^{3}
[/mm]
a) Ermittlen Sie, für welche Startwerte das Iterationsverfahren
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \phi(x_{n}) [/mm] n=0,1,....
zum Finden eines Fixpunktes der Funktion [mm] \phi [/mm] konvergiert und welche Konvergenzordnung es besitzt.
b) Ermittlen Sie, für welche Startwerte die Newton-Methode zum Finden einer Nullstelle der Funktion [mm] \phi [/mm] konvergiert und welche Konvergenzordnung sie besitzt. |
Ich habe zunächst so angefangen:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n}^{3}
[/mm]
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] x_{n-1}^{3}
[/mm]
[mm] x_{n-1} [/mm] = [mm] x_{n-2}^{3}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{1}^{3}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{0}^{3}
[/mm]
d.h [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{0}^{3(n+1)}
[/mm]
Die Funktion von [mm] x^{3} [/mm] hat die Nullstellen zwischen [mm] [\pm0.5, [/mm] 0]
Wenn ich das Iterationsverfahren anwenden, erhalte ich:
[mm] x_{0} [/mm] = 0.5
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] 0.5^{3} [/mm] = 0.125
[mm] x_{2} [/mm] = 0.001953125
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] 7.45058596*10^{-9}
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] 7.45058595*10^{-729}
[/mm]
[mm] x_{5} [/mm] = [mm] 7.45058595*10^{-3.87420489*10^{8}}
[/mm]
Nun meine Fragen:
1) Ist das überhaupt richtig, dass dann Startwert [mm] x_{0} [/mm] = 0.5 ist???????
2) Um die Konvergenzordnung zu berechnen, muss ich mir für
[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_{0}| \le c*|x_{n}-x_{0}|^p
[/mm]
ein Beispiel nehmen und nach p auflösen?
3) Wie erhalte ich [mm] f(x_{n}) [/mm] bei der Newton-Methode
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] - [mm] \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{0})}
[/mm]
Kann mir jemand weiter helfen?
Liebe Grüße
Joan
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Hallo Joan2,
> Betrachten Sie die Funktion [mm]\phi: \IR \to \IR[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]\phi(x):=x^{3}[/mm]
>
> a) Ermittlen Sie, für welche Startwerte das
> Iterationsverfahren
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\phi(x_{n})[/mm] n=0,1,....
>
> zum Finden eines Fixpunktes der Funktion [mm]\phi[/mm] konvergiert
> und welche Konvergenzordnung es besitzt.
>
> b) Ermittlen Sie, für welche Startwerte die Newton-Methode
> zum Finden einer Nullstelle der Funktion [mm]\phi[/mm] konvergiert
> und welche Konvergenzordnung sie besitzt.
> Ich habe zunächst so angefangen:
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}^{3}[/mm]
>
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]x_{n-1}^{3}[/mm]
>
> [mm]x_{n-1}[/mm] = [mm]x_{n-2}^{3}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]x_{1}^{3}[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{0}^{3}[/mm]
>
> d.h [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{0}^{3(n+1)}[/mm]
>
> Die Funktion von [mm]x^{3}[/mm] hat die Nullstellen zwischen
> [mm][\pm0.5,[/mm] 0]
>
> Wenn ich das Iterationsverfahren anwenden, erhalte ich:
>
> [mm]x_{0}[/mm] = 0.5
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]0.5^{3}[/mm] = 0.125
> [mm]x_{2}[/mm] = 0.001953125
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]7.45058596*10^{-9}[/mm]
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]7.45058595*10^{-729}[/mm]
> [mm]x_{5}[/mm] = [mm]7.45058595*10^{-3.87420489*10^{8}}[/mm]
>
> Nun meine Fragen:
> 1) Ist das überhaupt richtig, dass dann Startwert [mm]x_{0}[/mm] =
> 0.5 ist???????
Ja, der Startwert ist in Ordnung, da
[mm]\vmat{\phi'\left(x_{0}\right)}=\left|3x_{0}^{2}\right| \le 1[/mm]
>
> 2) Um die Konvergenzordnung zu berechnen, muss ich mir für
>
> [mm]|x_{n+1}[/mm] - [mm]x_{0}| \le c*|x_{n}-x_{0}|^p[/mm]
>
> ein Beispiel nehmen und nach p auflösen?
In der Numerik spricht man von Konvergenz der Ordnung p, wenn sich die
Anzahl der Dezimalstellen in jedem Iterationsschritt ver-p-facht.
>
> 3) Wie erhalte ich [mm]f(x_{n})[/mm] bei der Newton-Methode
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]x_{n}[/mm] - [mm]\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{0})}[/mm]
>
Ich weiss hier nicht, ob diese Methode gemeint ist:
[mm]x_{n+1} = x_{n} - \bruch{f(x_{n})}{f'(x_{\blue{n})}[/mm]
>
> Kann mir jemand weiter helfen?
>
>
> Liebe Grüße
> Joan
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Danke erstmal, dass du mir wieder hilfst ^^
Hast recht bei der Newton-Methode habe ich mich verschrieben gehabt. Im Prinzip würde diese Aufgabe doch wie a) gelöst werden. Wie schon erwähnt, weiß ich nicht wie ich auf dieses [mm] f(x_{n}) [/mm] komme.
Eigentlich ist ja
f(x) = x - [mm] \phi(x) \Rightarrow [/mm] x = [mm] \phi(x)
[/mm]
aber f(x) muss ja gleich Null sein, sonst könnte man nicht umformen. Aber bei b) ist [mm] f(x_{n}) [/mm] doch nicht gleich Null??
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Hallo Joan2,
> Danke erstmal, dass du mir wieder hilfst ^^
>
> Hast recht bei der Newton-Methode habe ich mich
> verschrieben gehabt. Im Prinzip würde diese Aufgabe doch
> wie a) gelöst werden. Wie schon erwähnt, weiß ich nicht wie
> ich auf dieses [mm]f(x_{n})[/mm] komme.
>
> Eigentlich ist ja
>
> f(x) = x - [mm]\phi(x) \Rightarrow[/mm] x = [mm]\phi(x)[/mm]
>
> aber f(x) muss ja gleich Null sein, sonst könnte man nicht
> umformen. Aber bei b) ist [mm]f(x_{n})[/mm] doch nicht gleich Null??
Laut Aufgabenteil b) sollst Du eine Nullstelle der Funktion [mm]\phi\left(x\right)=x^{3}[/mm] mit Hilfe der Newton-Methode finden.
Damit ist [mm]f\left(x\right)[/mm] durch die Funktion [mm]\phi\left(x\right)[/mm] festgelegt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Joan2 |
Achsoo. Okay, dann versuch ich es mal, danke nochmals ^^
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