Fixpunktsatz Banach < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Count123 |
| Aufgabe | Es sei M [mm] \subset \IR^{n}eine [/mm] abgeschlossene Menge. Für F : M -> M gelte:
Es gibt ein K < 1/2 , so dass für alle x, y [mm] \in [/mm] M gilt:
||F(x) − F(y)|| [mm] \le [/mm] K (||F(x) − x|| + ||F(y) − y||)
Zeigen Sie: F besitzt genau einen Fixpunkt in M (12 Punkte) |
Hallo 
Da die Aufgabe recht viele Punkte gibt, habe ich iwie den Eindruck, als wäre mein Ansatz zu leicht :D
Im Prinzip reicht es doch aus, lediglich die Voraussetzungen des F.P.S. von Banach zu überprüfen. Aufgrund der Vollständigkeit des [mm] \IR^{n} [/mm] und der Abgeschlossenheit von M, ist M als Teilmenge auch vollständig. Dass F eine Selbstabbildung ist, steht ja schon in der Aufgabenstellung. Zu überprüfen wäre doch eigentlich nur noch die Längenkontraktion?
Dazu müsste doch gelten (?):
K (||F(x) − x|| + ||F(y) − y||) [mm] \le [/mm] K* ||x-y||, wobei K* < 1 sein soll
Stimmt der Ansatz?
Wie könnte man da jetzt vllt am besten vorgehn?
Danke schonmal sehr im voraus :)
LG Count123
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei M [mm]\subset \IR^{n}eine[/mm] abgeschlossene Menge. Für F :
> M -> M gelte:
> Es gibt ein K < 1/2 , so dass für alle x, y [mm]\in[/mm] M gilt:
> ||F(x) − F(y)|| [mm]\le[/mm] K (||F(x) − x|| + ||F(y) − y||)
> Zeigen Sie: F besitzt genau einen Fixpunkt in M (12
> Punkte)
> Hallo
>
>
> Da die Aufgabe recht viele Punkte gibt, habe ich iwie den
> Eindruck, als wäre mein Ansatz zu leicht :D
>
> Im Prinzip reicht es doch aus, lediglich die
> Voraussetzungen des F.P.S. von Banach zu überprüfen.
> Aufgrund der Vollständigkeit des [mm]\IR^{n}[/mm] und der
> Abgeschlossenheit von M, ist M als Teilmenge auch
> vollständig. Dass F eine Selbstabbildung ist, steht ja
> schon in der Aufgabenstellung. Zu überprüfen wäre doch
> eigentlich nur noch die Längenkontraktion?
>
> Dazu müsste doch gelten (?):
>
> K (||F(x) − x|| + ||F(y) − y||) [mm]\le[/mm] K* ||x-y||, wobei
> K* < 1 sein soll
>
> Stimmt der Ansatz?
Daran dachte ich auch zuerst, habs aber nicht hinbekommen. Ich zweifle auch daran, dass das so geht.
Gehe doch vor , wie beim Beweis des Banachschen Fuxpunktsatzes:
Sei [mm] x_0 \in [/mm] M und setze [mm] x_{n+1}:=F(x_n)
[/mm]
1. Zeige Induktiv:
[mm] ||x_{n+1}-x_n|| \le \bruch{K^n}{(1-K)^n}||x_1-x_0||
[/mm]
2. Zeige: [mm] (x_n) [/mm] ist eine Cauchyfolg, hat also einen Grenzwert m [mm] \in [/mm] M.
3. m ist Fixpunkt von F.
4. F hat genau einen Fixpunkt.
Wenn ich mich nicht vertan habe, geht alles gut durch.
FRED
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> Wie könnte man da jetzt vllt am besten vorgehn?
>
> Danke schonmal sehr im voraus :)
>
> LG Count123
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Danke sehr für deine Hilfe
Kurze Frage..wie kommst du auf die Behauptung in Punkt 1?
LG Count123
EDIT: Hat sich geklärt..wurde mir später klar :) danke für die hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 25.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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