Fkt.erstellung durch Nullst. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Di 30.10.2012 | | Autor: | yace |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils die Fkt. mit der gewünschten Zahl als Nullstelle und die Rekursionsvorschrift des Newton-Verfahres an, so dass alle Glieder der erzeugten Folge rationale Zahlen sind.
b) [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] |
Hallo,
Zu alles erst soll ich ja eine Fkt. erstellen, die als NS [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] hat. Mir gelingt es nicht eine solche Fkt. aufzustellen.
Mein erster Versuch war, es zu aller erst umzuformen, sprich [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{3} [/mm] + [mm] \wurzel{1} [/mm] aber das ist eine ganz andere Zahl als zuvor. Da mir das eindeutig falsch ist, habe ich mir gedacht, dass wenn ich [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1}=x [/mm] setzte und dann 'rückwärts' rechne, müsste ich auf die Fkt. kommen. Allerdings komme ich da auf $ [mm] 0=x^4-4 [/mm] $
Also meine Frage ist, wie komme ich auf die Fkt. mit b) als Nullstelle?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Di 30.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie jeweils die Fkt. mit der gewünschten Zahl als
> Nullstelle und die Rekursionsvorschrift des
> Newton-Verfahres an, so dass alle Glieder der erzeugten
> Folge rationale Zahlen sind.
> b) [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm]
> Hallo,
>
> Zu alles erst soll ich ja eine Fkt. erstellen, die als NS
> [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm] hat. Mir gelingt es nicht eine solche
> Fkt. aufzustellen.
> Mein erster Versuch war, es zu aller erst umzuformen,
> sprich [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{3}[/mm] + [mm]\wurzel{1}[/mm]
Au Backe ! Die Regel kannte ich noch nicht. Obiges ist Blödsinn.
Mach das mal mit [mm]\wurzel{\wurzel{9}+1}[/mm] , dann siehst Du warum.
> aber das ist eine ganz andere Zahl als zuvor. Da mir das
> eindeutig falsch ist, habe ich mir gedacht, dass wenn ich
> [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}=x[/mm] setzte und dann 'rückwärts'
> rechne, müsste ich auf die Fkt. kommen. Allerdings komme
> ich da auf [mm]0=x^4-4[/mm]
Wie kommst Du darauf ?
> Also meine Frage ist, wie komme ich auf die Fkt. mit b)
> als Nullstelle?
Es gibt viele !
f(x)=x- $ [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] $
[mm] f(x)=e^x(x- [/mm] $ [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] $)
[mm] f(x)=(x^2+123456789)(x- [/mm] $ [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] $)
.....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Di 30.10.2012 | | Autor: | yace |
| Aufgabe | Konstruieren Sie mit dem Newton-Verfahren Folgen von rationalen Zahlen, die sich folgenden Zahlen annähren:
b) $ [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] $
Konkret heißt das: Geben Sie jeweils die Fkt. mit der gewünschten Zahl als Nullstelle und die Rekursionsvorschrift des Newton-Verfahres an, so dass alle Glieder der erzeugten Folge rationale Zahlen sind.
Wählen Sie einen Startwert und berechnen Sie die Folgeglieder numerisch so lange, bis die ersten acht Stellen sich nicht mehr ändern. Geben Sie die Nummer des Folgenglieds an, wo das passiert. |
> > aber das ist eine ganz andere Zahl als zuvor. Da mir das
> > eindeutig falsch ist, habe ich mir gedacht, dass wenn ich
> > [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}=x[/mm] setzte und dann 'rückwärts'
> > rechne, müsste ich auf die Fkt. kommen. Allerdings komme
> > ich da auf [mm]0=x^4-4[/mm]
>
> Wie kommst Du darauf ?
>
[mm] \wurzel{\wurzel{3}+1}=x
[/mm]
Ich wollte die Wurzel wegfallen lassen indem ich potenziere..
> f(x)=x- [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm]
Darauf bin ich auch gekommen, nur lässt sich die Fkt. nicht anzeigen. Wie auch immer, dann nehme ich jetzt diese Fkt.
In der Aufgabenstellung heißt es, dass man nun die Nullstelle mit dem Newton-Verfahren berechnen soll.
f(x)=x- [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm]
$ f'(x)=1 $
Dann komme ich logischerweise immer auf [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1}. [/mm] Ich kann ja nur die Aufgabenstellung falsch verstanden haben, oder?
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Hallo!
Du solltest Dich wirklich ganz dringend mit den Potenz- und sonstigen Rechengesetzen beschäftigen. Da hast Du Lücken, die sind größer als jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$. Das wird Dir sonst ewig Schwierigkeiten bereiten.
$x = [mm] \sqrt{\sqrt{3}+1}$
[/mm]
Quadrieren beider Seiten
[mm] $x^2 [/mm] = [mm] \sqrt{3} [/mm] + 1$
Wir isolieren mal die Wurzel
[mm] $x^2 [/mm] - 1 = [mm] \sqrt{3}$
[/mm]
Wir quadrieren erneut
[mm] $(x^2-1)^2 [/mm] = 3
Wir erkennen ein Binom
[mm] $x^4 [/mm] - [mm] 2\,x [/mm] + 1 = 3 $
Zum Schluss schaffen wir die 3 auf die andere Seite
[mm] $x^4 [/mm] - [mm] 2\,x [/mm] - 2 = 0$
Und erhalten uneren Funktionsterm
$f(x) = [mm] x^4 [/mm] - [mm] 2\,x [/mm] - 2$.
Mit der gewünschten Nullstelle.
$5 = [mm] \sqrt{25} [/mm] = [mm] \sqrt{4^2 + 3^2} \neq [/mm] 4 + 3 = 7$
Gruß
mathemak
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Di 30.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Du solltest Dich wirklich ganz dringend mit den Potenz- und
> sonstigen Rechengesetzen beschäftigen. Da hast Du Lücken,
> die sind größer als jedes [mm]\epsilon > 0[/mm]. Das wird Dir
> sonst ewig Schwierigkeiten bereiten.
>
> [mm]x = \sqrt{\sqrt{3}+1}[/mm]
>
> Quadrieren beider Seiten
>
> [mm]x^2 = \sqrt{3} + 1[/mm]
>
> Wir isolieren mal die Wurzel
>
> [mm]x^2 - 1 = \sqrt{3}[/mm]
>
> Wir quadrieren erneut
>
> [mm]$(x^2-1)^2[/mm] = 3
>
> Wir erkennen ein Binom
>
> [mm]x^4 - 2\,x + 1 = 3[/mm]
Hallo,
hier muss es
[mm] $x^4-2x^2+1=3$ [/mm] heißen.
Gruß Abakus
>
> Zum Schluss schaffen wir die 3 auf die andere Seite
>
> [mm]x^4 - 2\,x - 2 = 0[/mm]
>
> Und erhalten uneren Funktionsterm
>
> [mm]f(x) = x^4 - 2\,x - 2[/mm].
>
> Mit der gewünschten Nullstelle.
>
> [mm]5 = \sqrt{25} = \sqrt{4^2 + 3^2} \neq 4 + 3 = 7[/mm]
>
> Gruß
>
> mathemak
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Mi 31.10.2012 | | Autor: | mathemak |
Absolut korrekter Hinweis. Tippfehler aus Flüchtigkeit heraus.
[mm] $x^4 [/mm] - [mm] 2\,x^2 [/mm] + 1 = 3$
Danke!
mathemak
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Hallo yace,
der "Witz" der Aufgabe besteht in der Angabe "rationale Zahlen".
> Geben Sie jeweils die Fkt. mit der gewünschten Zahl
Das sollte wohl "Geben Sie eine Fkt." heißen. Wie Fred schon sagt, gibt es unendlich viele.
> als Nullstelle und die Rekursionsvorschrift des
> Newton-Verfahres an, so dass alle Glieder der erzeugten
> Folge rationale Zahlen sind.
> b) [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm]
> Hallo,
>
> Zu alles erst soll ich ja eine Fkt. erstellen, die als NS
> [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm] hat. Mir gelingt es nicht eine solche
> Fkt. aufzustellen.
> Mein erster Versuch war, es zu aller erst umzuformen,
> sprich [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}[/mm] = [mm]\wurzel[4]{3}[/mm] + [mm]\wurzel{1}[/mm]
Ooops. Was ist [mm] $\wurzel{3^2+4^2}$? [/mm] 7?
> aber das ist eine ganz andere Zahl als zuvor. Da mir das
> eindeutig falsch ist,
Nicht nur dir. Es ist tatsächlich grundfalsch und verstößt gegen die nötigen Rechenregeln (Mittelstufenstoff). Es gibt weder ein gliedweises Quadrieren noch Wurzelziehen bei einer Summe oder Differenz.
> habe ich mir gedacht, dass wenn ich
> [mm]\wurzel{\wurzel{3}+1}=x[/mm] setzte und dann 'rückwärts'
> rechne, müsste ich auf die Fkt. kommen.
Das ist ja schonmal eine gute Idee. Auch hier: eine Funktion, nicht die. Je nachdem, was Du tust, könnten da verschiedene Ergebnisse herauskommen, die durchaus alle richtig sein können.
> Allerdings komme
> ich da auf [mm]0=x^4-4[/mm]
Das will ich sehen!
> Also meine Frage ist, wie komme ich auf die Fkt. mit b)
> als Nullstelle?
Naja, wir wollen doch einen Weg finden, wie wir eine Gleichung für x aufstellen können, so dass [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] die Gleichung löst. Die gesuchte Gleichung soll möglichst ein Polynom sein (weil dann Newton so schön einfach ist) und nur rationale Koeffizienten haben.
Also fangen wir mit [mm] x=\wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] an und quadrieren.
[mm] \Rightarrow x^2=\wurzel{3}+1
[/mm]
Das ist noch nicht rational. Also erstmal die Wurzel isolieren:
[mm] x^2-1=\wurzel{3}
[/mm]
Jetzt nochmal quadrieren:
[mm] (x^2-1)^2=3
[/mm]
So, da haben wir ein Polynom mit rationalen Koeffizienten.
Rechne doch mal noch die quadrierte Klammer auf der linken Seite aus und bringe alle Terme schön geordnet auf eine Seite und fasse zusammen, was zusammenzufassen ist, dann siehst Du auch eine mögliche Funktion, die eine Nullstelle an der gesuchten Stelle hat.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mi 31.10.2012 | | Autor: | yace |
Vielen Danke, das war sehr verständlich! Die Wurzel isolieren, da lag mein Fehler, nur wie müsste man das ganze machen, wenn man nicht die Möglichkeit hat sie zu isolieren?
Beispielsweise bei $ [mm] x=\wurzel{1+\wurzel{2}}+\wurzel{1-\wurzel{2}} [/mm] $ ?
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Hallo yace,
solange eine Zahl nur mit verschachtelten Wurzeln und Brüchen geschrieben werden kann, gibt es immer einen Weg, sie als Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten zu deuten.
> Vielen Danke, das war sehr verständlich! Die Wurzel
> isolieren, da lag mein Fehler, nur wie müsste man das
> ganze machen, wenn man nicht die Möglichkeit hat sie zu
> isolieren?
> Beispielsweise bei
> [mm]x=\wurzel{1+\wurzel{2}}+\wurzel{1-\wurzel{2}}[/mm] ?
Hier gibt es ein anderes Problem. Da [mm] \wurzel{2}>1 [/mm] ist ist der zweite Radikand negativ und die Wurzel in den reellen Zahlen also nicht existent.
Für [mm] x=\wurzel{\wurzel{2}+1}+\wurzel{\wurzel{2}-1} [/mm] dagegen könnte man ein Polynom finden.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mi 31.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Danke, das war sehr verständlich! Die Wurzel
> isolieren, da lag mein Fehler, nur wie müsste man das
> ganze machen, wenn man nicht die Möglichkeit hat sie zu
> isolieren?
> Beispielsweise bei
> [mm]x=\wurzel{1+\wurzel{2}}+\wurzel{1-\wurzel{2}}[/mm] ?
Nehmen wir mal reverends Vorschlag:
$ [mm] x=\wurzel{\wurzel{2}+1}+\wurzel{\wurzel{2}-1} [/mm] $
Quadriere zuerst, das ergibt, mit der binomischen Formel:
$ [mm] x^{2}=\sqrt{2}+1+2\cdot\wurzel{\wurzel{2}+1}\cdot\wurzel{\wurzel{2}-1}+\sqrt{2}-1 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow x^{2}=2\sqrt{2}+2\cdot\wurzel{(\wurzel{2}+1)(\wurzel{2}-1)} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}x^{2}=\sqrt{2}+\wurzel{(\wurzel{2})^{2}-1} [/mm] $
Den Rest schaffst du jetzt sicher wieder alleine.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 31.10.2012 | | Autor: | yace |
> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}x^{2}=\sqrt{2}+\wurzel{(\wurzel{2})^{2}-1}[/mm]
>
> Den Rest schaffst du jetzt sicher wieder alleine.
>
Die Lösung ist dann:
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^4-x^2-1 [/mm] $
Danke, der Anfang hat mir sehr viel geholfen. Ich habe die ganze Zeit den selben Fehler gemacht, wie mir grad aufgefallen ist :/
Wie würde es denn sein, wenn man nicht mit der Binomischen Formel lösen könnte. Nehmen wir bspw.
x = [mm] \wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] x^3 [/mm] = [mm] (\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}} )^3
[/mm]
Wäre der Ansatz dafür [mm] x^3 [/mm] = [mm] (\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}} )^2 [/mm] * [mm] (\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^3 [/mm] = [mm] (1+\wurzel{2}+2*\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}}+1-\wurzel{2})* (\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^3 [/mm] = [mm] (1+2*\wurzel[3]{1-(\wurzel{2})^2} [/mm] * [mm] (\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}})
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^3 [/mm] = (1-2)* [mm] (\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}})
[/mm]
Oder ist das alles schrott was ich jetzt gerechnet habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mi 31.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> Aber auch hierist die hintere Wurzel nicht definiert, denn
> [mm]1-\sqrt{2}<0[/mm] .
Das hängt von der Definition einer ungeraden Wurzel ab. Für die dritte Wurzel wird ja schon fast normalerweise für a>0 festgelegt: [mm] \wurzel[3]{-a}=-\wurzel[3]{a}.
[/mm]
Trotzdem bleibt es ein ziemlich elendes Herumrechnen, auch wenn es prinzipiell möglich sein müsste - schließlich ist die vorgeschlagene Zahl [mm] x=\wurzel[3]{1+\wurzel{2}}+\wurzel[3]{1-\wurzel{2}} [/mm] ohne Zweifel algebraisch, sofern eben wie oben definiert wird.
Grüße
reverend
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binomischer Lehrsatz