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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Sa 13.06.2015 | | Autor: | AnnaRode |
| Aufgabe | Sei E := {abgeschlossen, kompakt, zusammenhängend}. Finden Sie, mit Begründung, für jedes EIG Element von E jeweils eine Beispeil einer Funktion f: R-> R, sodass bezüglich der euklidischen Metrik gilt:
Für alle A Teilmenge R: A EIG -> f(A) EIG
und gleichzeitig
es existiert A Teilmenge R: A EIG, f^-1(A) nicht EIG. |
Für A zusammenhängend -> f(A) zusammenhängend und dass ein A zusammenhängend existiert, sodass f^-1(A) nicht zusammenhängend ist, habe ich folgende Lösung:
f: R\ {0} -> R f(x)=0
Das Urbild von {0} ist R\ {0} und daher nicht zusammenhängend.
Für A abgeschlossen habe ich überlegt, eine Funktion zu suchen, die evtl von Z->Z geht, da Z abgeschlossen in R ist, deren Urbild aber Q ist, da Q nicht abgeschlossen in R. Ich weiß aber nicht, wie ich eine solche Funktion finden kann. Insbesondere gilt ja eigentlich, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, sofern die Funktion stetig ist. Vlt brauche ich also eine nicht stetige Funktion? (Wir haben erst Ende letzte Vorlesung Stetigkeit in einem Punkt definiert, daher weiß ich noch nicht viel darüber)
Für A kompakt, also A beschränkt und abgeschlossen habe ich an den Sinus gedacht. Ich weiß aber nicht, wie ich die Definitionsmenge wählen soll, damit das Urbild ganz R wird (weil R nicht kompakt ist).
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 13.06.2015 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Sei E := {abgeschlossen, kompakt, zusammenhängend}. Finden
> Sie, mit Begründung, für jedes EIG Element von E jeweils
> eine Beispeil einer Funktion f: R-> R, sodass bezüglich
> der euklidischen Metrik gilt:
> Für alle A Teilmenge R: A EIG -> f(A) EIG
> und gleichzeitig
> es existiert A Teilmenge R: A EIG, f^-1(A) nicht EIG.
>
> Für A zusammenhängend -> f(A) zusammenhängend und dass
> ein A zusammenhängend existiert, sodass f^-1(A) nicht
> zusammenhängend ist, habe ich folgende Lösung:
>
> f: R\ {0} -> R f(x)=0
> Das Urbild von {0} ist R\ {0} und daher nicht
> zusammenhängend.
Beachte, dass $f$ auf ganz [mm] $\R$ [/mm] definiert sein soll; ich sehe leider gerade nicht, dass sich Dein Beispiel leicht so ergaenzen laesst, dass es noch immer das gewuenschte liefert.
>
> Für A abgeschlossen habe ich überlegt, eine Funktion zu
> suchen, die evtl von Z->Z geht, da Z abgeschlossen in R
> ist, deren Urbild aber Q ist, da Q nicht abgeschlossen in
> R. Ich weiß aber nicht, wie ich eine solche Funktion
> finden kann. Insbesondere gilt ja eigentlich, dass die
> Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, sofern
> die Funktion stetig ist. Vlt brauche ich also eine nicht
> stetige Funktion? (Wir haben erst Ende letzte Vorlesung
> Stetigkeit in einem Punkt definiert, daher weiß ich noch
> nicht viel darüber)
>
> Für A kompakt, also A beschränkt und abgeschlossen habe
> ich an den Sinus gedacht. Ich weiß aber nicht, wie ich die
> Definitionsmenge wählen soll, damit das Urbild ganz R wird
> (weil R nicht kompakt ist).
Dein erstes Beispiel ist fuer die Eigenschaft "zusammenhaengend" leider nicht so gut gelungen. Aber ich glaube, es ist fuer die anderen Aufgaben sehr brauchbar (nach Fortsetzung von $f$ auf ganz [mm] $\IR$).
[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 13.06.2015 | | Autor: | AnnaRode |
Vielen Dank für deine Rückmeldung!
Leider ist der Groschen bei mir noch nicht gefallen.
Wie genau meinst du Fortsetzung auf R?
Wenn f: R->R wähle, mit f(x)=0, dann ist R doch wieder weder kompakt noch abgeschlossen.
Inwiefern kann mir diese Abb. für abgeschl und kompakt helfen?
Und hast du einen Tipp für zusammenhängend?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 14.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Vielen Dank für deine Rückmeldung!
> Leider ist der Groschen bei mir noch nicht gefallen.
>
> Wie genau meinst du Fortsetzung auf R?
$f$ soll auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert sein; Dein Beispiel war nur auf einer echten Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] erklaert. Mit Fortsetzung meinte ich eine Funktion, die auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist und auf der Teilmenge mit Deiner Funktion uebereinstimmt.
> Wenn f: R->R wähle, mit f(x)=0, dann ist R doch wieder
> weder kompakt noch abgeschlossen.
> Inwiefern kann mir diese Abb. für abgeschl und kompakt
> helfen?
Ich verstehe die Frage nicht. Deine Aufgabe hat zwei Teile (beispielsweise fuer die Eigenschaft "abgeschlosssen"):
1. Wenn [mm] $A\subseteq \IR$ [/mm] abgeschlossen ist, ist dann auch $f(A)$ abgeschlossen?
2. Gibt eine abgeschlossene Menge $X$, fuer die [mm] $f^{-1}(X)$ [/mm] nicht abgeschlossen ist?
Wobei Du besser nicht $f$ zu der Funktion fortsetzen solltest, die konstant $=0$ ist, sondern sie besser unstetig fortsetzt.
>
> Und hast du einen Tipp für zusammenhängend?
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