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Fläche: Geschwindigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:38 Do 17.01.2019
Autor: tinakru

Aufgabe
Die momentane Steiggeschwindigkeit v in m/s eines Flugzeugs wird in Abhängigkeit von der Zeit t in s nach dem Start durch die Funktion
f(x) = [mm] -0,1x^2 [/mm] + 2,5t für t >= 0 und t<=20 beschrieben. Welche Höhe hat das Flugzeug im angegebenen Zeitintervall erreicht!

Hallo zusammen!

Hätte wieder mal eine kleine Frage!
Ich weiß bereits wie man die Aufgabe löst (Nullstellen berechnen, diese liegen bei 1 und -1 und dann das Integral über die Parabel von -1 bis 1.  Ergebnis ist 233.
Was ich aber überhaupt nicht verstehe, weshalb genau die Fläche zwischen Parabel und x-Achse die erreichte Höhe sein soll? Kann mir da jemand weiterhelfen?

LG
Tina

        
Bezug
Fläche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Do 17.01.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Was ich aber überhaupt nicht verstehe, weshalb genau die
> Fläche zwischen Parabel und x-Achse die erreichte Höhe
> sein soll? Kann mir da jemand weiterhelfen?

deine Frage ist ein schönes Beispiel, wieso Anschauungen eben nur Anschauungen und keine Allgemeingültigkeiten sind.

Ja, man kann das Integral als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse interpretieren… allerdings eben nur "kann". Nicht immer hat das Integral auch diese Bedeutung.
Man kann es zwar doch abstrakt wieder so interpretieren, aber dazu später mehr.

Erstmal zur Aufgabe:
Ihr hattet bestimmt schon folgenden Zusammenhang:

Gegeben sei eine Weg-Zeit-Funktion s(t), dann ist die Ableitung dieser Funktion gerade die Momentangeschwindigkeit v, d.h. es gilt $s'(t) = v(t)$.

D.h. die Änderungsrate des Wegs ist gerade die Geschwindigkeit.
Noch ein Schritt weiter könnte man sich die Änderungsrate der Geschwindkeit v'(t) anschauen, das wäre dann die Momentan-Beschleunigung a(t) (auch wenn danach nicht gefragt war hier), es gilt dann also: $s''(t) = v'(t) = a(t)$

Gegeben hast du nun die Funktion der Momentangeschwindigkeit (und ich vermute mal, sie sollte eigentlich heißen): $f(t) = [mm] -0,1t^2 [/mm] + 2,5t$

Wie kommt man nun auf den zurückgelegten Weg? Wir erinnern uns: Die Geschwindigkeitsfunktion ist die Ableitung der Wegfunktion, d.h. um den zurückgelegten Weg zu erhalten, müssen wir diese Funktion über das gewünschte Zeitintervall integrieren.
Da es keine negativen Zeiten gibt (!!! ACHTUNG, HIER HAST DU EINEN FEHLER GEMACHT !!!), wäre der Weg somit:

$s(t) = [mm] \int_0^t [/mm] f(t) dt$

Wir interessieren uns also für $s(20) = [mm] \int_0^{20} [/mm] f(t) dt$

Insofern ist deine "Lösung"

> Ich weiß bereits wie man die Aufgabe löst (Nullstellen berechnen, diese liegen bei 1 und -1 und dann das Integral über die Parabel von -1 bis 1.

völliger Humbug.
Wie du trotzdem aufs richtige Ergebnis gekommen bist, ist mir ein Rätsel....

Nun noch kurz zu meiner Anmerkung, warum man eine "Höhe" abstrakt doch als Fläche betrachten kann.
Zeichnen wir die Funktion der Geschwindigkeit in ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ein, so bestünde eine Fläche in diesem Diagramm aus dem Produkt aus "Geschwindigkeit" und "Zeit".
Eine Geschwindigkeit multipliziert mit einer Zeitdauer ist aber, wenn man die Einheiten betrachtet .... *trommelwirbel*.... eine Strecke.
D.h. die Fläche in diesem Diagramm hat denselben Wert (als Flächenmaß), den man sinnvollerweise der zurückgelegten Strecke (als Längenmaß) zuweist.

Gruß,
Gono


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