Fläche Kreuz < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 So 24.05.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Ein Kreuz mit vier gleichlangen Armen soll aus einer Kreisscheibe ausgeschnitten werden. Wie ist das Verhältnis von Länge zu Breite der Balken, wenn die Fläche des Kreuzes maximal werden soll? |
Hallo Zusammen,
hierbei fehlt mir gänzlich der Ansatz. Es ist nach dem Maximum der Fläche des Kreuzes gefragt.
[mm] A_k [/mm] = Fläche zwei Rechtecke - Mittefläche des Kreuzes
Die beiden Rechtecke überlagern sich ja, somit müsste noch die Mittelfläche des Kreuzes einmal abgezogen werden
[mm] A_k [/mm] = 2 [mm] \cdot{} [/mm] l [mm] \cdot{} [/mm] b - [mm] \bruch{1}{3} \cdot{} [/mm] l [mm] \cdot{} [/mm] b
Keine Ahnung ob dies so stimmt, hierbei müsste doch die Angabe mit den den vier gleichlangen Armen verarbeitet werden? Eine Zeichnung hat auch leider keine Verbesserung gebracht.
Nun müsste es aber noch eine zweite Bedingung geben, um eine der beiden Unbekannten zu eliminieren. Hierbei sehe ich aber keinen weiteren Zusammenhang, um dies zu vereinfachen.
Wie komme ich auf diese Nebenbedingung?
Vielen Dank,
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 So 24.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Ein Kreuz mit vier gleichlangen Armen soll aus einer
> Kreisscheibe ausgeschnitten werden. Wie ist das Verhältnis
> von Länge zu Breite der Balken, wenn die Fläche des Kreuzes
> maximal werden soll?
> Hallo Zusammen,
>
> hierbei fehlt mir gänzlich der Ansatz. Es ist nach dem
> Maximum der Fläche des Kreuzes gefragt.
>
> [mm]A_k[/mm] = Fläche zwei Rechtecke - Mittefläche des Kreuzes
>
> Die beiden Rechtecke überlagern sich ja, somit müsste noch
> die Mittelfläche des Kreuzes einmal abgezogen werden
>
> [mm]A_k[/mm] = 2 [mm]\cdot{}[/mm] l [mm]\cdot{}[/mm] b - [mm]\bruch{1}{3} \cdot{}[/mm] l
> [mm]\cdot{}[/mm] b
Hallo,
die "Mittelfläche" ist ein QUADRAT! Was soll da [mm]\bruch{1}{3} \cdot{}[/mm] l
[mm]\cdot{}[/mm] b ?
Die Nebenbedingung folgt aus Satz des Thales und Satz des Pythagoras (Zeichne in den Kreis einen Durchmesser ein, der durch zwei äußere Eckpunkte deines Kreuzes verläuft).
Gruß Abakus
>
> Keine Ahnung ob dies so stimmt, hierbei müsste doch die
> Angabe mit den den vier gleichlangen Armen verarbeitet
> werden? Eine Zeichnung hat auch leider keine Verbesserung
> gebracht.
>
> Nun müsste es aber noch eine zweite Bedingung geben, um
> eine der beiden Unbekannten zu eliminieren. Hierbei sehe
> ich aber keinen weiteren Zusammenhang, um dies zu
> vereinfachen.
>
> Wie komme ich auf diese Nebenbedingung?
>
> Vielen Dank,
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 So 24.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > Die beiden Rechtecke überlagern sich ja, somit müsste noch
> > die Mittelfläche des Kreuzes einmal abgezogen werden
> >
> > [mm]A_k[/mm] = 2 [mm]\cdot{}[/mm] l [mm]\cdot{}[/mm] b - [mm]\bruch{1}{3} \cdot{}[/mm] l
> > [mm]\cdot{}[/mm] b
> Hallo,
> die "Mittelfläche" ist ein QUADRAT! Was soll da
> [mm]\bruch{1}{3} \cdot{}[/mm] l
> [mm]\cdot{}[/mm] b ?
Das Frage ich mich auch gerade. Das Flächenstück in der Mitte müsste doch durch allein durch die Breite b² beschrieben werden.
Somit [mm] A_k [/mm] = 2lb - b²
> Die Nebenbedingung folgt aus Satz des Thales und Satz des
> Pythagoras (Zeichne in den Kreis einen Durchmesser ein, der
> durch zwei äußere Eckpunkte deines Kreuzes verläuft).
Wegen dem Satz des Thales habe ich nun ja einen rechten Winkel, somit kann ich den Satz des Pythagoras anweden:
Der Zusammenhang l² = l [mm] \cdot{} [/mm] q + l [mm] \cdot{} [/mm] p
q + p = l
Wenn ich dies nun einsetze:
[mm] A_k [/mm] = [mm] 2b\cdot{} \wurzel{l \cdot{} q + l \cdot{} p} [/mm] - b²
Komme ich jedoch wieder an den Anfang. Bei der Nebenbedingung (Pythagoras), muss ich die beiden Seiten d und e irgendwie anders ausdrücken, als durch den Kathetensatz. Nur wie?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 So 24.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Radius, bzw. Durchmessers des Kreises muss ja gegeben sein, er ist also fest r bzw. d
was ist dann die Hyp. in deinem Thalesdreieck?
Was du hingeschrieben hast ist zwar auch ein Satz am rechtw. Dreieck, aber nicht der Pyth.!
Was sind denn all deine vielen Groessen?
l=Laenge der Kreuzarme insgesamt, also Laenge des Rechtecks, b=Breite des kreuzarms.
Was sind die 2 denn in deinem Thalesdreieck? was haben sie mit dem Radius zu tun? Was ist der Durchmesser des kreises in deinem Rechteck?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Mo 25.05.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
ich habe mir dazu eine Zeichnung gemacht.
Also der Durchmesser bzw. Radius der Kreises ist als gegeben vorausgesetzt. Die Hypotenuse der Dreiecks ist der Durchmesser des Kreises.
Nun ist mir noch folgendes aufgefallen:
r - [mm] \bruch{l}{2} [/mm] = x
r - [mm] \bruch{b}{2} [/mm] = y
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich sehe aber nicht, was diese beiden in dem Thalesdreieck sein sollen?
Wie ist da der Zusammenhang?
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Mo 25.05.2009 | | Autor: | weduwe |
> Guten Morgen,
>
> ich habe mir dazu eine Zeichnung gemacht.
>
> Also der Durchmesser bzw. Radius der Kreises ist als
> gegeben vorausgesetzt. Die Hypotenuse der Dreiecks ist der
> Durchmesser des Kreises.
>
> Nun ist mir noch folgendes aufgefallen:
>
> r - [mm]\bruch{l}{2}[/mm] = x
> r - [mm]\bruch{b}{2}[/mm] = y
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich sehe aber nicht, was diese beiden in dem Thalesdreieck
> sein sollen?
> Wie ist da der Zusammenhang?
>
> Gruß
> itse
>
so kommst du vielleicht eher ans ziel,
frage einfach den pythagoras 
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mo 25.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
dann würde sich für die Diagonale:
(x+x+x)²+x² = D²
Also l²+b² = D²
ergeben. Jedoch ist diese Diagonale doch auch nicht gegeben. Somit hätte ich zwar eine Unbekannte eliminiert, zugleich eine neue Unbekannte eingeführt. Also auch keinen Schritt weiter. Gibt es da noch einen weiteren Zusammenhang, den ich nicht sehe?
Vielen Dank für die Geduld,
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mo 25.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Kreis ist gegeben. was ist D im Kreis?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 25.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
okay, nun sehe ich es, dann ist die Diagonale des Rechtecks zugleich der Druchmesser des Kreises.
Somit ergibt sich d² = l²+b² -> l = [mm] \wurzel{d²-b²}
[/mm]
Meine Hauptbedingung war: [mm] A_k [/mm] (l,b)$ = 2lb - b²
Dies nun in die Hauptbedingung ($ [mm] A_k [/mm] (l,b)$ = 2lb - b² ) eingesetzt:
[mm] A_k(b) [/mm] = 2b [mm] \wurzel{d²-b²} [/mm] - b²
Dies mithilfe der Produktregel ableiten ergibt:
[mm] A_k'(b) [/mm] = 2 [mm] \wurzel{d²-b²} [/mm] + 2b [mm] \cdot{} \bruch{-2b}{2 \wurzel{d²-b²}} [/mm] - 2b = [mm] \bruch{2d²-4b²-2b \wurzel{d²-b²}}{\wurzel{d²-b²}}
[/mm]
Nun will ich die Extrema haben, also
[mm] A_k'(b) [/mm] = 0 -> -4b²-2b [mm] \wurzel{d²-b²}+2d² [/mm] = 0
(-2b [mm] \wurzel{d²-b²})² [/mm] = (4b²-2d²)²
4b²(d²-b²) = [mm] 16b^4-16d²b²+4d^4
[/mm]
[mm] -20b^4+20d²b²-4d^4 [/mm] = 0 | z:=b²
[mm] -20z²+20d²z-4d^4 [/mm] = 0
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-4(-20)(-4d^4)}}{2(-20)} [/mm] = [mm] \bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-320d^4)}}{-40} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}d² \pm [/mm] (-0,1)d² [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Rücksubstitution:
b² = [mm] \bruch{1}{2}d² [/mm] +0,1d² [mm] \wurzel{5} [/mm] -> b = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}d² +0,1d² \wurzel{5}} [/mm] = y
Hoffentlich stimmt dies soweit?
Nun müsste ich noch l ermitteln aus der Nebendingung:
l² + b² = d²
Wenn ich dies aber einsetze erhalte ich für l denselben Wert und das Seitenverhältnis wäre 1, dies kann nicht stimmen. Muss ich hierbei, dies so schreiben:
(2x+y)²+y² = d²
4x²+4yx+2y²-d² = 0
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-4y \pm \wurzel{16y²-32y²+16d²}}{8} [/mm] = -2y [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{-2y²+d²}
[/mm]
Dann y = b einsetzen:
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] -2(\wurzel{\bruch{1}{2}d² +0,1d² \wurzel{5}}) \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{-2(\bruch{1}{2}d² +0,1d² \wurzel{5})+d²}
[/mm]
Wie würde es weitergehen, vorausgesetzt, es stimmt überhaupt?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> Hallo,
>
> okay, nun sehe ich es, dann ist die Diagonale des Rechtecks
> zugleich der Druchmesser des Kreises.
>
> Somit ergibt sich d² = l²+b² -> l = [mm]\wurzel{d²-b²}[/mm]
>
> Meine Hauptbedingung war: [mm]A_k[/mm] (l,b)$ = 2lb - b²
>
> Dies nun in die Hauptbedingung ([mm] A_k (l,b)[/mm] = 2lb - b² )
> eingesetzt:
>
> [mm]A_k(b)[/mm] = 2b [mm]\wurzel{d²-b²}[/mm] - b²
>
> Dies mithilfe der Produktregel ableiten ergibt:
>
> [mm]A_k'(b)[/mm] = 2 [mm]\wurzel{d²-b²}[/mm] + 2b [mm]\cdot{} \bruch{-2b}{2 \wurzel{d²-b²}}[/mm]
> - 2b = [mm]\bruch{2d²-4b²-2b \wurzel{d²-b²}}{\wurzel{d²-b²}}[/mm]
>
> Nun will ich die Extrema haben, also
>
> [mm]A_k'(b)[/mm] = 0 -> -4b²-2b [mm]\wurzel{d²-b²}+2d²[/mm] = 0
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> (-2b [mm]\wurzel{d²-b²})²[/mm] = (4b²-2d²)²
>
> 4b²(d²-b²) = [mm]16b^4-16d²b²+4d^4[/mm]
>
> [mm]-20b^4+20d²b²-4d^4[/mm] = 0 | z:=b²
>
> [mm]-20z²+20d²z-4d^4[/mm] = 0
>
> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-4(-20)(-4d^4)}}{2(-20)}[/mm]
> = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-320d^4)}}{-40}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}d² \pm[/mm] (-0,1)d² [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> Rücksubstitution:
>
> [mm] b^2=\bruch{1}{2}d^2+0,1d^2\wurzel{5} \Rightarrow b=\wurzel{\bruch{1}{2}d^2+0,1d^2\wurzel{5}}=y
[/mm]
Klammere das [mm] d^2 [/mm] unter der Wurzel aus: [mm] b=d*\wurzel{\bruch{1}{2}+0,1\wurzel{5}}
[/mm]
dann sieht's schon freundlicher aus. 
noch geschickter: [mm] b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})
[/mm]
>
> Hoffentlich stimmt dies soweit?
>
> Nun müsste ich noch l ermitteln aus der Nebendingung:
nimm jetzt das "verbesserte" [mm] b^2 [/mm] und beachte, du suchst nur das Verhältnis l:b:
[Vermutung: dieses Verhältnis könnte unabhängig von d sein. ]
>
> l² + b² = d²
>
> Wenn ich dies aber einsetze erhalte ich für l denselben
> Wert und das Seitenverhältnis wäre 1, dies kann nicht
> stimmen. Muss ich hierbei, dies so schreiben:
>
> (2x+y)²+y² = d²
> 4x²+4yx+2y²-d² = 0
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-4y \pm \wurzel{16y²-32y²+16d²}}{8}[/mm] = -2y
> [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{-2y²+d²}[/mm]
>
> Dann y = b einsetzen:
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]-2(\wurzel{\bruch{1}{2}d² +0,1d² \wurzel{5}}) \pm[/mm]
> 2 [mm]\wurzel{-2(\bruch{1}{2}d² +0,1d² \wurzel{5})+d²}[/mm]
>
> Wie würde es weitergehen, vorausgesetzt, es stimmt
> überhaupt?
Sei nicht so zaghaft!
>
> Gruß
> itse
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 26.05.2009 | | Autor: | itse |
> > Nun will ich die Extrema haben, also
> >
> > [mm]A_k'(b)[/mm] = 0 -> -4b²-2b [mm]\wurzel{d²-b²}+2d²[/mm] = 0
>
> >
> > (-2b [mm]\wurzel{d²-b²})²[/mm] = (4b²-2d²)²
> >
> > 4b²(d²-b²) = [mm]16b^4-16d²b²+4d^4[/mm]
> >
> > [mm]-20b^4+20d²b²-4d^4[/mm] = 0 | z:=b²
> >
> > [mm]-20z²+20d²z-4d^4[/mm] = 0
> >
> > [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-4(-20)(-4d^4)}}{2(-20)}[/mm]
> > = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-320d^4)}}{-40}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{2}d² \pm[/mm] (-0,1)d² [mm]\wurzel{5}[/mm]
> >
> > Rücksubstitution:
> >
> > [mm]b^2=\bruch{1}{2}d^2+0,1d^2\wurzel{5} \Rightarrow b=\wurzel{\bruch{1}{2}d^2+0,1d^2\wurzel{5}}=y[/mm]
Hierbei erhalte ich ja zwei Werte für b einmal:
[mm] b_1 [/mm] = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{10} \wurzel{5}}) [/mm] und [mm] b_2 [/mm] = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}})
[/mm]
Hierbei müsste ich noch prüfen, ob die beiden Werte Maxima oder Minima sind. Dazu habe ich die zweite Ableitung gebildet, sieht dann so aus:
[mm] A_k''(b) [/mm] = [mm] \bruch{-2b}{\wurzel{d²-b²}} [/mm] + [mm] \bruch{2b³-4d²b}{\wurzel{(d²-b²)³}} [/mm] - 2
Wenn ich nun die d = 5 annehme ich somit die beiden Werte für b berechne und einsetze erhalte ich jeweils ein Ergebnis < 0, somit wären beiden Werte ein Maximum.
Kann dies stimmen?
Dann habe ich die b-Werte und kann über die Bedingung (2x+y)²+y² = d², x berechnen,
hierbei erhalte ich dann (y=b):
[mm] x_{1,2} [/mm] = -2y [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{-y²+d²} [/mm] = [mm] -2d(\wurzel{\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10} \wurzel{5}}) \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{-d^2(\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10}\wurzel{5})+d²)} [/mm] = [mm] -2d(\wurzel{\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10} \wurzel{5}}) \pm [/mm] 2d [mm] \wurzel{\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10}\wurzel{5}}
[/mm]
Und für die Länge gilt: l = 2x+y
l = [mm] -4d(\wurzel{\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10} \wurzel{5}}) \pm [/mm] 4d [mm] \wurzel{\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10}\wurzel{5}}) [/mm] + [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2} \pm \bruch{1}{10} \wurzel{5}})
[/mm]
Nun müsste ich noch das Verhältnis [mm] \bruch{l}{b} [/mm] bestimmen.
Wenn man für b = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}}) [/mm] setzt,
erhalte ich für l = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}})
[/mm]
Dann wäre das Verhältnis 1:1, dies kann aber nicht sein. Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
Gruß
itse
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Hallo itse,
> > > Nun will ich die Extrema haben, also
> > >
> > > [mm]A_k'(b)[/mm] = 0 -> -4b²-2b [mm]\wurzel{d²-b²}+2d²[/mm] = 0
> >
> > >
> > > (-2b [mm]\wurzel{d²-b²})²[/mm] = (4b²-2d²)²
> > >
> > > 4b²(d²-b²) = [mm]16b^4-16d²b²+4d^4[/mm]
> > >
> > > [mm]-20b^4+20d²b²-4d^4[/mm] = 0 | z:=b²
> > >
> > > [mm]-20z²+20d²z-4d^4[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-4(-20)(-4d^4)}}{2(-20)}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-320d^4)}}{-40}[/mm] =
> > > [mm]\bruch{1}{2}d² \pm[/mm] (-0,1)d² [mm]\wurzel{5}[/mm]
> > >
> > > Rücksubstitution:
> > >
> > > [mm]b^2=\bruch{1}{2}d^2+0,1d^2\wurzel{5} \Rightarrow b=\wurzel{\bruch{1}{2}d^2+0,1d^2\wurzel{5}}=y[/mm]
>
> Hierbei erhalte ich ja zwei Werte für b einmal:
>
> [mm]b_1=d(\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") und
> [mm]b_2=d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm]
>
> Hierbei müsste ich noch prüfen, ob die beiden Werte Maxima
> oder Minima sind.
Das würde ich zunächst mal zurückstellen, weil der erste Wert falsch ist.
> Dazu habe ich die zweite Ableitung
> gebildet, sieht dann so aus:
>
> [mm]A_k''(b)[/mm] = [mm]\bruch{-2b}{\wurzel{d²-b²}}[/mm] +
> [mm]\bruch{2b³-4d²b}{\wurzel{(d²-b²)³}}[/mm] - 2
>
> Wenn ich nun die d = 5 annehme ich somit die beiden Werte
> für b berechne und einsetze erhalte ich jeweils ein
> Ergebnis < 0, somit wären beiden Werte ein Maximum.
Da d nicht gegeben ist, ist es nicht sinnvoll, einen beliebigen Wert dafür anzunehmen.
>
> Kann dies stimmen?
eher nicht...
>
>
> Dann habe ich die b-Werte und kann über die Bedingung
> (2x+y)²+y² = d², x berechnen,
auch dies ist eher unpraktisch.
[mm]b=d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm]
besser: [mm] b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5}) [/mm]
mit [mm] l^2+b^2=d^2 [/mm] kannst du $l_ $ berechnen und dann das Verhältnis [mm] \bruch{l}{b} [/mm] untersuchen...
Wie ich schon vermutet hatte, ist das Verhältnis [mm] l^2:b^2 [/mm] unabhängig von d!
Rechne mal nach!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 26.05.2009 | | Autor: | itse |
Hall informix,
> [mm]b=d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm]
>
> besser: [mm]b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})[/mm]
> mit [mm]l^2+b^2=d^2[/mm] kannst du [mm]l_[/mm] berechnen und dann das
> Verhältnis [mm]\bruch{l}{b}[/mm] untersuchen...
l = [mm] \wurzel{d² - b²} [/mm] = [mm] \wurzel{d²-d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})} [/mm] = [mm] \wurzel{d²(1-[\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}]} [/mm] = [mm] d\wurzel{\bruch{1}{2} - \bruch{1}{10} \wurzel{5}}
[/mm]
[mm] \bruch{l}{b} [/mm] = [mm] \bruch{d\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}}}{d\wurzel{\bruch{1}{2} - \bruch{1}{10} \wurzel{5}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{5-\wurzel{5}}{10}}}{\wurzel{\bruch{5+\wurzel{5}}{10}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{5-\wurzel{5}}{5+\wurzel{5}}} \approx [/mm] 0,62
Dann wäre die Länge 0,62 kürzer als die Breite? Stimmt dieses Ergebnis der Seitenverhältnisse?
Warum ist der erste Wert $ [mm] b_1=d(\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{10} \wurzel{5}}) [/mm] $ bei Berechnung der Breite falsch, ich erhalte zwei Werte, dann muss ich erst noch überprüfen, ob Minima oder Maxima und dann kann ich doch erst sagen, ob der Wert, der Richtige ist?
Vielen Dank
itse
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Hallo itse,
> Hall informix,
>
>
> > [mm]b=d(\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm]
> >
> > besser: [mm]b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})[/mm]
> > mit [mm]l^2+b^2=d^2[/mm] kannst du [mm]l_[/mm] berechnen und dann das
> > Verhältnis [mm]\bruch{l}{b}[/mm] untersuchen...
>
> l = [mm]\wurzel{d² - b²}[/mm] =
> [mm]\wurzel{d²-d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})}[/mm] =
> [mm]\wurzel{d²(1-[\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}]}[/mm] =
> [mm]d\wurzel{\bruch{1}{2} - \bruch{1}{10} \wurzel{5}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{l}{b}[/mm] = [mm]\bruch{d\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10} \wurzel{5}}}{d\wurzel{\bruch{1}{2} - \bruch{1}{10} \wurzel{5}}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\wurzel{\bruch{5-\wurzel{5}}{10}}}{\wurzel{\bruch{5+\wurzel{5}}{10}}}=\wurzel{\bruch{5-\wurzel{5}}{5+\wurzel{5}}} \approx 0,62[/mm]
als Wurzelterm sieht es besonders schön aus.
>
>
> Dann wäre die Länge 0,62 kürzer als die Breite? Stimmt
> dieses Ergebnis der Seitenverhältnisse?
das habe ich auch berechnet!
>
> Warum ist der erste Wert
> [mm]b_1=d(\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm] bei
> Berechnung der Breite falsch, ich erhalte zwei Werte, dann
> muss ich erst noch überprüfen, ob Minima oder Maxima und
> dann kann ich doch erst sagen, ob der Wert, der Richtige
> ist?
wir hatten: [mm]b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})[/mm]
Wenn man daraus die Wurzel zieht:
[mm]b=\pm\wurzel{d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})}[/mm] mit $b>0$
kann man [mm] d^2 [/mm] vor die Wurzel holen - und das war's!
Wir haben hier ja keine quadratische Gleichung o.ä.
Theoretisch könnte auch noch [mm] -\wurzel{d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})} [/mm] ein Ergebnis sein; aber wir suchen ja eine Länge, und die kann niemals negativ sein.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Di 26.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo informix,
> > Warum ist der erste Wert
> > [mm]b_1=d(\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm] bei
> > Berechnung der Breite falsch, ich erhalte zwei Werte, dann
> > muss ich erst noch überprüfen, ob Minima oder Maxima und
> > dann kann ich doch erst sagen, ob der Wert, der Richtige
> > ist?
>
> wir hatten: [mm]b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})[/mm]
> Wenn man daraus die Wurzel zieht:
> [mm]b=\pm\wurzel{d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})}[/mm]
> mit [mm]b>0[/mm]
> kann man [mm]d^2[/mm] vor die Wurzel holen - und das war's!
> Wir haben hier ja keine quadratische Gleichung o.ä.
Dies stimmt soweit auch. Um aber überhaupt auf ein Extrema zu kommen, musste ich die erste Ableitung bilden und diese Null setzen und hierbei ergab sich eine quadratische Gleichung mithilfe einer Substitution:
> Nun will ich die Extrema haben, also
>
> $ [mm] A_k'(b) [/mm] $ = 0 -> -4b²-2b $ [mm] \wurzel{d²-b²}+2d² [/mm] $ = 0
> (-2b $ [mm] \wurzel{d²-b²})² [/mm] $ = (4b²-2d²)²
>
> 4b²(d²-b²) = $ [mm] 16b^4-16d²b²+4d^4 [/mm] $
>
> $ [mm] -20b^4+20d²b²-4d^4 [/mm] $ = 0 | z:=b²
>
> $ [mm] -20z²+20d²z-4d^4 [/mm] $ = 0
>
> $ [mm] z_{1,2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-4(-20)(-4d^4)}}{2(-20)} [/mm] $
> = $ [mm] \bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-320d^4)}}{-40} [/mm] $ =
> $ [mm] \bruch{1}{2}d² \pm [/mm] $ (-0,1)d² $ [mm] \wurzel{5} [/mm] $
Und genau hier, habe ich doch nun zwei Werte für z, dies noch rücksubstituieren und man erhält:
b²_1 = [mm] \bruch{1}{2}d² [/mm] - [mm] \bruch{1}{10}d² \wurzel{5}
[/mm]
b²_2 = [mm] \bruch{1}{2}d² [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}d² \wurzel{5}
[/mm]
Hierbe meintest du, dass der erste Wert mit dem Minus falsch sei. Dies verstehe ich aber nicht, beide Lösungen erfüllen doch die quadratische Gleichung bei der Berechnung der Extremwerte?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 26.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo informix,
>
> > > Warum ist der erste Wert
> > > [mm]b_1=d(\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{10} \wurzel{5}})[/mm] bei
> > > Berechnung der Breite falsch, ich erhalte zwei Werte, dann
> > > muss ich erst noch überprüfen, ob Minima oder Maxima und
> > > dann kann ich doch erst sagen, ob der Wert, der Richtige
> > > ist?
> >
> > wir hatten: [mm]b^2=d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})[/mm]
> > Wenn man daraus die Wurzel zieht:
> > [mm]b=\pm\wurzel{d^2(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{10}\wurzel{5})}[/mm]
> > mit [mm]b>0[/mm]
> > kann man [mm]d^2[/mm] vor die Wurzel holen - und das war's!
> > Wir haben hier ja keine quadratische Gleichung o.ä.
>
> Dies stimmt soweit auch. Um aber überhaupt auf ein Extrema
> zu kommen, musste ich die erste Ableitung bilden und diese
> Null setzen und hierbei ergab sich eine quadratische
> Gleichung mithilfe einer Substitution:
>
> > Nun will ich die Extrema haben, also
> >
> > [mm]A_k'(b)[/mm] = 0 -> -4b²-2b [mm]\wurzel{d²-b²}+2d²[/mm] = 0
>
> > (-2b [mm]\wurzel{d²-b²})²[/mm] = (4b²-2d²)²
> >
> > 4b²(d²-b²) = [mm]16b^4-16d²b²+4d^4[/mm]
> >
> > [mm]-20b^4+20d²b²-4d^4[/mm] = 0 | z:=b²
> >
> > [mm]-20z²+20d²z-4d^4[/mm] = 0
> >
> > [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-4(-20)(-4d^4)}}{2(-20)}[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{-20d² \pm \wurzel{400d^4-320d^4)}}{-40}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{2}d² \pm[/mm] (-0,1)d² [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> Und genau hier, habe ich doch nun zwei Werte für z, dies
> noch rücksubstituieren und man erhält:
>
> b²_1 = [mm]\bruch{1}{2}d²[/mm] - [mm]\bruch{1}{10}d² \wurzel{5}[/mm]
>
> b²_2 = [mm]\bruch{1}{2}d²[/mm] + [mm]\bruch{1}{10}d² \wurzel{5}[/mm]
>
> Hierbe meintest du, dass der erste Wert mit dem Minus
> falsch sei. Dies verstehe ich aber nicht, beide Lösungen
> erfüllen doch die quadratische Gleichung bei der Berechnung
> der Extremwerte?
Na und? Es handelt sich um einen praktischen Sachverhalt. Nicht alles, was rein rechnerisch rauskommt, ist auch praktisch möglich.
Ich gebe dir ein Beispiel:
"Auf einem Sektempfang stößt jeder Gast mit jedem an. Dabei klingen 45mal die Gläser. Wie viele Gäste waren anwesend?"
Lösung: Wenn jede der n Personen mit den übrigen n-1 Personen anstößt, gibt das n(n-1) Paare. Allerdings wird dabei jedes Anstoßen doppelt gezählt (A zählt so ein Anstoßen mit B, B zählt das gleiche Anstoße mit A für sich), deshalb muss noch durch 2 geteilt werden, es gilt also
n(n-1)/2=45.
Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen [mm] n_1=10 [/mm] und [mm] n_2=-9.
[/mm]
Nach deiner Logik wären also entweder 10 Gäste anwesend, oder es sind -9 Gäste anwesend?!?
Das meinte ich mit "Nicht alles, was rein rechnerisch rauskommt, ist auch praktisch möglich."
Gruß Abakus
>
> Gruß
> itse
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:37 Mi 27.05.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
nun meine letzte Frage dazu.
> Na und? Es handelt sich um einen praktischen Sachverhalt.
> Nicht alles, was rein rechnerisch rauskommt, ist auch
> praktisch möglich.
> Ich gebe dir ein Beispiel:
> "Auf einem Sektempfang stößt jeder Gast mit jedem an.
> Dabei klingen 45mal die Gläser. Wie viele Gäste waren
> anwesend?"
> Lösung: Wenn jede der n Personen mit den übrigen n-1
> Personen anstößt, gibt das n(n-1) Paare. Allerdings wird
> dabei jedes Anstoßen doppelt gezählt (A zählt so ein
> Anstoßen mit B, B zählt das gleiche Anstoße mit A für
> sich), deshalb muss noch durch 2 geteilt werden, es gilt
> also
> n(n-1)/2=45.
> Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen [mm]n_1=10[/mm] und
> [mm]n_2=-9.[/mm]
> Nach deiner Logik wären also entweder 10 Gäste anwesend,
> oder es sind -9 Gäste anwesend?!?
> Das meinte ich mit "Nicht alles, was rein rechnerisch
> rauskommt, ist auch praktisch möglich."
Dies leutet mir auch vollkommen ein, dass in der Praxis negative Längen, Personen usw. usw. keinen Sinn machen. Nur wenn ich mir meine beiden Werte für b anschaue:
[mm] b_1 [/mm] = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2} - \bruch{1}{10}\wurzel{5}})
[/mm]
[mm] b_2 [/mm] = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2} + \bruch{1}{10} \wurzel{5}})
[/mm]
sind beide Werte unter der Wurzel > 0 und angenommen d wäre 5, dann erhalte ich:
[mm] b_1 \approx [/mm] 2,63
[mm] b_2 \approx [/mm] 4,25
Soweit wäre dies doch mit der Praxis vereinbar, die beiden Länge sind positiv und der Durchmesser des Kreises wird auch immer positiv sein.
Für die Längen erhalte ich folgende Ergebnisse:
[mm] l_1 [/mm] = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2} + \bruch{1}{10} \wurzel{5}})
[/mm]
[mm] l_2 [/mm] = [mm] d(\wurzel{\bruch{1}{2} - \bruch{1}{10} \wurzel{5}})
[/mm]
Auch hier, angenommen d =5, dann ergibt sich:
[mm] l_1 \approx [/mm] 4,25
[mm] l_2 \approx [/mm] 2,63
Allgemein bestimmt, würde das Seitenverhältnis jeweils so aussehen:
[mm] \bruch{l_1}{b_1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{5+\wurzel{5}}{5-\wurzel{5}}} \approx [/mm] 1,62
[mm] \bruch{l_2}{b_2} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{5-\wurzel{5}}{5+\wurzel{5}}} \approx [/mm] 0,62
(Jeweils Kehrwert vom anderen)
Somit wäre einmal die Länge das 1,62 mal länger als die Breite:
[mm] l_1 [/mm] = 1,62 * [mm] b_1
[/mm]
4,25 = 1,62 * 2,63 = 4,25
Und einmal wäre die Länge 0,62 kürzer als die Breite:
[mm] l_2 [/mm] = 0,62 * [mm] b_2
[/mm]
2,63 = 0,62 * 4,25 = 2,63
Also wären doch beide Lösungen in der Praxis auch möglich? Oder lässt sich dies nicht konstruieren? Wenn doch, dann hätte ich doch zwei Lösungen für Länge und Breite, bei der die Fläche maximal wird?
Vielleicht stehe ich auch mal wieder auf dem Schlauch.
Vielen Dank für die Geduld,
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Mi 27.05.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast zwei Seitelnängen a und b.
Du hast jetzt errechne, dass $ a=1,62b [mm] \gdw b=\bruch{1}{1,62}a=0,62a [/mm] $
Wenn aber b die längere Seite ist, gilt: $ b=1,62a [mm] \gdw [/mm] a=0,62b $
Am Verhältnis der beiden Seiten ändert sich nichts, es ist nur die Frage welche Seite du als die längere ansiehst.
Marius
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> Hallo
>
> Du hast zwei Seitelnängen a und b.
>
> Du hast jetzt errechne, dass [mm]a=1,62b \gdw b=\bruch{1}{1,62}a=0,62a[/mm]
>
> Wenn aber b die längere Seite ist, gilt: [mm]b=1,62a \gdw a=0,62b[/mm]
>
> Am Verhältnis der beiden Seiten ändert sich nichts, es ist
> nur die Frage welche Seite du als die längere ansiehst.
>
> Marius
Bei der Aufstellung der Flächenformel [mm] A=2*l*b-b^2
[/mm]
wurde eigentlich schon festgelegt, dass $\ b$ die kleinere
der beiden Seitenlängen sein muss, denn andernfalls
hätte die Formel [mm] A=2*l*b-l^2 [/mm] heißen müssen.
Die richtige Lösung ist also
[mm] $\bruch{b}{l}\,=\,\bruch{\wurzel{5}-1}{2}\,\approx\, [/mm] 0.618$
Dies ist übrigens das Verhältnis des goldenen Schnittes.
Gruß Al-Chwarizmi
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Hallo itse,
| Aufgabe | | Ein Kreuz mit vier gleichlangen Armen soll aus einer Kreisscheibe ausgeschnitten werden. Wie ist das Verhältnis von Länge zu Breite der Balken, wenn die Fläche des Kreuzes maximal werden soll? |
> Hallo,
>
> dann würde sich für die Diagonale:
>
> (x+x+x)²+x² = D²
Aus der Aufgabe geht nicht hervor, dass die Breite der Balken identisch ist mit den "überstehenden" Teilen.
Ansatz: [mm] (x+y+x)^2+y^2=D^2 [/mm] mit l=2x+y und b=y
Im übrigen: achte darauf, dass du lediglich das Verhältnis von l:b ermitteln sollst!
>
> Also l²+b² = D²
>
> ergeben. Jedoch ist diese Diagonale doch auch nicht
> gegeben. Somit hätte ich zwar eine Unbekannte eliminiert,
> zugleich eine neue Unbekannte eingeführt. Also auch keinen
> Schritt weiter. Gibt es da noch einen weiteren
> Zusammenhang, den ich nicht sehe?
>
Wie heißt eigentlich deine Extremalbedingung, die du untersuchen sollst?!
Das Verfahren bei  MiniMaxAufgaben sollte dir vertraut sein.
[mm] l^2+b^2=D^2 [/mm] ist lediglich die Nebenbedingung, bei der du D als gegeben betrachten kannst, weil die Holzscheibe ja "bekannt" ist.
Gruß informix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Di 26.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man kann doch nicht davon ausgehen, dass das alles so gleich lang ist!
Sonst könnte man ja gleich sagen, dass das Verhältnis 1:1 ist, zumindest, wenn sie mit Balken jetzt die Arme meinen.
Oder übersehe ich gerade irgendwie etwas?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Hallo Teufel,
| Aufgabe | | Ein Kreuz mit vier gleichlangen Armen soll aus einer Kreisscheibe ausgeschnitten werden. Wie ist das Verhältnis von Länge zu Breite der Balken, wenn die Fläche des Kreuzes maximal werden soll? |
> Hi!
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Man kann doch nicht davon ausgehen, dass das alles so
> gleich lang ist!
offenbar doch - steht so im Text...
> Sonst könnte man ja gleich sagen, dass das Verhältnis 1:1
> ist, zumindest, wenn sie mit Balken jetzt die Arme meinen.
> Oder übersehe ich gerade irgendwie etwas?
offenbar: von Länge und Breite und von der Gesamtfläche ist die Rede...
>
> Teufel
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Di 26.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wo steht das denn?
"Ein Kreuz mit vier gleichlangen Armen soll aus einer Kreisscheibe ausgeschnitten werden. Wie ist das Verhältnis von Länge zu Breite der Balken, wenn die Fläche des Kreuzes maximal werden soll?"
Da steht doch nur, dass die Arme gleich lang sein sollen, damit das Kreuz eben nicht krumm und schief ist. Wenn das wirklich alles so gleich lang wäre wie auf der anderen Skizze, bräuchte man ja nicht rechnen...
Ich würde eher davon ausgehen, dass die Arme eben unterschiedliche Länge und Breite haben, der Flächeninhalt also mit A(l,b)=4lb+b² zu berechnen wäre. Sonst würde die Aufgabe doch keinen Sinn ergeben.
l ist bei mir die Länge eines Arms, b die Breite eben (die näher am Kreisbogen ist).
Also ich sehe zumindest nicht, warum man l=b voraussetzen sollte. Wenn man das tut, braucht man nicht mehr rechnen, da dann l:b=x:x=1:1 wäre. Aber ich denke nicht, dass es darum geht.
Und das (hässliche ;)) Kreuz von mir würde doch auch zur Beschreibung passen, aber da gilt auch nicht l=b.
Teufel
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