www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Fläche / Maß einer Menge
Fläche / Maß einer Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fläche / Maß einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Fr 03.02.2017
Autor: tobi91_nds

Aufgabe
Setze [mm] $K:=\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2| x^2+y^2<1 \wedge x,y>0\right\}$. [/mm]
Berechne [mm] $\mu\left(K\right)$ [/mm] aus der Definition des maßes.
Hinweis: Apporimiere K durch paarweise disjunkte Rechtecke und interpretiere das Maß ihrer Vereinigung als Riemann-Summe.

Offenbar ist K ein viertel des offenen Einheitskreises um den Nullpunkt. Die Fläche (oder mit den Vokabeln den Maßtheorie: das Maß) ist also [mm] $\frac{\pi}{4}$ [/mm]

Jetzt ist die Frage, wie kommt man darauf? Das mit den Riemann-Summen leuchtet mir nicht ganz ein. Das müsste ja dann eine Reihe der form [mm] $\sum_{i=1}^n \left(b_{n+1}-b_n\right)f\left(b_n\right)$ [/mm] sein,wobei n gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht. Aber wie komme ich an die Werte von f?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Fläche / Maß einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Fr 03.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

offenbar wird der Kreisbogen beschrieben durch $f(x) = [mm] \sqrt{1-x^2}$ [/mm] und die Fläche damit durch [mm] $\frac{\pi}{4} [/mm] = [mm] \integral_0^1 [/mm] f(x) dx$

Zerteilen wir nun [0,1] äquidistant in n gleiche Teile, so ist die Ober-/Untersumme des Integrals die von dir gesuchte Approximation durch Rechtecke.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Fläche / Maß einer Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Fr 03.02.2017
Autor: tobi91_nds

Ok, soweit so gut. Wenn ich $[0,1]$ in gleich lange Stücke zerteilen möchte, ist die einfachste methode: [mm] $I_i=[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n})$ [/mm] für alle $i=0,1,2,...,n-1$.
Füllen wir dies in die Summenformel, kommt da folgendes bei raus:
[mm] $\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}$. [/mm] Ist das formal so richtig? Einen Grenzwert abzulesen scheint mir aber nicht so leicht zu sein. Ist das überhaupt möglich?

Bezug
                        
Bezug
Fläche / Maß einer Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Fr 03.02.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Füllen wir dies in die Summenformel, kommt da folgendes
> bei raus:
>  [mm]\sum_{i=0}^{n-1}\frac{i}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}[/mm].

Nein, die Summenformel wäre
[mm]\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}[/mm]

Und ist jetzt natürlich die Frage, welche Summenformel du genommen hast, deine wäre die Obersumme…

> Ist das formal so richtig? Einen Grenzwert abzulesen scheint
> mir aber nicht so leicht zu sein. Ist das überhaupt möglich?

Der Grenzwert IST das Integral!
D.h. [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx[/mm]

Wir haben das Pferd faktisch von hinten aufgezäumt… du solltest ja eine Summe von Rechtecken angeben, die die Fläche aproximiert.
Du wählst als Summe von Rechtecken eben [mm]\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}}[/mm] und für die Berechnung des Grenzwerts "erkennst" du das jetzt eben als Obersumme von [mm]\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx[/mm] und weißt damit [mm]\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{n}\sqrt{1-\frac{i^2}{n^2}} = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx[/mm]

Lösen des Integrals liefert dir also den GW und damit das gewünschte Maß.

Gruß,
Gono



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de