Fläche als Graph v. Tang.ebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:13 Mi 02.10.2013 | | Autor: | Pauli85 |
Hallo,
ich beschäfte mich zur Zeit mit dem Krümmungsbegriff von Flächen. Dabei bin ich in einem Buch über einen Satz gestoßen, der besagt, dass man reguläre Flächen als Graph über ihre affinen Tangentialebenen darstellen kann. Als nächstes wurde durch diese Darstellung und der Gauß-Krümmung [mm] (K(p)=\kappa_1*\kappa_2) [/mm] der Typ der Fläche festgestellt, also z.B. elliptisch, parabolisch etc. Und an dieser Stelle liegt mein Problem. Ich verstehe die Feststellung des Types im Bezug auf den Graphen der Tangentialebene nicht.
Hier mal ein kleiner Ausschnitt:
"Nun können wir beginnen, die Gauß-Krümmung geometrisch zu interpretieren. Wenn wir Terme dritter Ordnung vernachlässigen, können wir die reguläre Fläche S in der Nähe eines Punktes p [mm] \in [/mm] S über der Tangentialebene [mm] T_{p}S [/mm] als Graph der Funktion [mm] (u^1,u^2) \mapsto \bruch{1}{2}\summe_{i,j=1}^{2}h_{ij}(0,0)u^iu^j [/mm] angenähert darstellen.
1. Fall: Sei K(p)>0
Dann ist [mm] (h_{ij}(0,0))_{ij} [/mm] positiv oder negativ definit und somit wird S durch einen Paraboliden angenähert."
Hier ist [mm] (h_{ij}(u))_{i,j=1,2} [/mm] die Matrix der zweiten Fundamentalform. Außerdem wurde vorher bewiesen, dass man eine lokale Parametriserung (U,F,V) von S um p finden kann, so dass gilt:
F(u) - p = [mm] u^1X_1 [/mm] + [mm] u^2X_2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\summe_{i,j=1}^{2}h_{ij}(0,0)u^iu^j [/mm] * N(p) + [mm] O(||u||^3); X_1,X_2 [/mm] bilden eine Orthonormalbasis von [mm] T_{p}S.
[/mm]
Anschließend wurde [mm] p=(0,0,0)^T [/mm] gewählt sowie [mm] X_i=e_i, [/mm] wodurch obige Funktionsvorschrift entsteht.
Mein Problem ist, dass ich die Folgerung von K(p)>0 auf die Definitheit der Matrix h nicht verstehe.
Ich hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 08.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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