Fläche von Kreisen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Der Mittelpunkt [mm] M_{1} [/mm] von Kreis 1 liegt im Ursprung.
Der Mittelpunkt [mm] M_{2} [/mm] von Kreis 2 liegt auf der positiven x-Achse.
Beide Kreise haben den Radius 1.
Frage:
Wie muss der x-Wert von [mm] M_{2} [/mm] sein, damit die Schnittfläche der beiden Kreise genau so groß ist wie die gesamte Restfläche in den Kreisen
Siehe Zeichnung: die beiden farbigen Flächen sollen gleich groß sein.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Zunächst einmal: Die Aufgabe ist eindeutig lösbar, weil:
Wenn [mm] M_{2} [/mm] in (0/0) läge, dann wäre die Schnittfläche unendlich mal größer als der Rest.
Wenn [mm] M_{2} [/mm] in (2/0) läge, dann wäre die Schnittfläche gleich NULL.
Die Wahrheit muss also eindeutig irgendwo dazwischen liegen. Aber wo?
Ich bin so daran gegangen, dass ich den linken Kreis in drei Teile geteilt habe, wobei alle drei farbigen Teile die gleiche Fläche haben.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Über Sinus, Pythagoras, Flächenformel für Kreis und Teilkreis etc., habe ich versucht, Formeln aufzustellen und diese nach einer Größe aufzulösen. Aber da kam nichts wirklich Lösbares bei raus, außer dieser Formel
[mm] sin(\bruch{x}{2})*\wurzel{1-sin(\bruch{x}{2})^{2}}-\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{3}=0
[/mm]
wobei x der Winkel [mm] S_{1}M_{1}S_{2} [/mm] im Bogenmaß ist.
Durch Probieren habe ich dann raus gekriegt, dass dieser Winkel 149.25° ist.
Der gesuchte x-Wert für [mm] M_{2} [/mm] wäre danach ungefähr 0.53
Gibt es da ein anderes Verfahren - ohne Probieren?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo rabilein,
die Gleichung für x , die du erhalten hast, kann nicht
algebraisch aufgelöst werden; es handelt sich um eine
sogenannt "transzendente" Gleichung. Man kann sie
nur durch Probieren oder mit einem systematischen
Approximationsverfahren (beispielsweise Newtonver-
fahren) mit beliebig hoher Genauigkeit, aber eben nicht
absolut exakt lösen.
LG Al-Chwarizmi
Mir wurde einmal eine recht ähnliche Aufgabe gezeigt:
Ein Bauer, der eine kreisförmige Wiese hat, möchte
seine Ziege an einem Pflock am Rand der Wiese anbinden,
aber so, dass sie nur genau die Hälfte der Wiese abgrasen
kann. Wie lang muss der Strick sein ?
(der erste Schritt zur Lösung besteht natürlich in der
Abstraktion, dass die Ziege punktförmig sein soll...)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Über Sinus, Pythagoras, Flächenformel für Kreis und
> Teilkreis etc., habe ich versucht, Formeln aufzustellen und
> diese nach einer Größe aufzulösen. Aber da kam nichts
> wirklich Lösbares bei raus, außer dieser Formel
>
> [mm]sin(\bruch{x}{2})*\wurzel{1-sin(\bruch{x}{2})^{2}}-\bruch{x}{2}+\bruch{\pi}{3}=0[/mm]
>
> wobei x der Winkel [mm]S_{1}M_{1}S_{2}[/mm] im Bogenmaß ist.
Das geht schöner =),
aber das Ergebnis ist auch nicht symbolisch lösbar =(.
G ist die gelbe Fläche, K die blaue, dann gilt:
[mm] $G=\pi-2K$ ($\pi$ [/mm] ist ja die Fläche des ganzen Kreises)
$G=K$ (das wollen wir erreichen)
[mm] $\Rightarrow \pi=3K$
[/mm]
[mm] $K=\frac12 r^2(x-\sin x)=\frac12(x-\sin [/mm] x)$
[mm] $\Rightarrow x-\sin [/mm] x - [mm] \frac{2}{3}\pi [/mm] =0$
Die Lösung [mm] $\hat [/mm] x$ dieser Gleichung führt dann zu
[mm] $2\cos\left(\frac12\hat x\right)\approx [/mm] 0.53$
Aber [mm] $\hat [/mm] x$ kriegt man, wie schon in der anderen Antwort erwähnt, nur mit Newton-Raphson oder ähnlichem.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Sa 14.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo rabilein
Wenn du integrieren kannst, gibts ne Lösung.
Die türkise Fläche ist ja 1/3 der Fläche des Gesamtkreises, also muss die Fläche des schmalen Kreisstreifens von 0 bis s 1/6 der Kreisfläche sein.
du musst also [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] von 0bis [mm] x_s [/mm] integrieren. dann kriegst du [mm] arcsinx_s=\pi/12 [/mm] (nur die obere Hälte, deshal zölftel)
und [mm] x_s=0,264886 [/mm] damit ist Der Mittelpunkt bei [mm] 2*x_s [/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo rabilein
> Wenn du integrieren kannst, gibts ne Lösung.
> Die türkise Fläche ist ja 1/3 der Fläche des
> Gesamtkreises, also muss die Fläche des schmalen
> Kreisstreifens von 0 bis s 1/6 der Kreisfläche sein.
> du musst also [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] von 0 bis [mm]x_s[/mm] integrieren. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann kriegst du [mm]arcsin \ x_s=\pi/12[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") (siehe Hinweis unten !)
... dann sollte eigentlich [mm] x_s [/mm] = [mm] sin(\pi/12) [/mm] = 0.258819... werden !
> (nur die obere Hälte, deshalb zwölftel)
> und [mm]x_s\ =\ 0,264886[/mm]
... dies ist aber [mm] arcsin(\pi/12) [/mm] !
> damit ist Der Mittelpunkt bei [mm]2*x_s[/mm]
> Gruss leduart
Hallo leduart,
Dein Wert [mm] arcsin(\pi/12) [/mm] = 0.264886 kommt dem richtigen
Wert [mm]\ x_s=0.264932[/mm] zwar erstaunlich nahe, ist aber trotzdem
falsch. Du musst wohl bei der Integration etwas übersehen haben...
Hinweis: [mm] \bruch{d}{dx}\ arcsin(x)=\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
[mm] \integral{\wurzel{1-x^2}\ \ dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} *\left(arcsin(x)+x*\wurzel{1-x^2}\right) [/mm] + C
Schönen Gruss !
al-Chwarizmi
Ich habe mir noch überlegt, weshalb du nach den beiden
Fehlern (falsche Stammfunktion und Verwechslung sin/arcsin)
trotzdem zahlenmässig fast exakt zum richtigen Ergebnis
gekommen bist.
Du hast statt der Gleichung
[mm] \bruch{1}{2} *\left(arcsin(x)+x*\wurzel{1-x^2}\right) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{12}
[/mm]
die Gleichung
[mm] \sin(x) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{12}
[/mm]
gelöst.
Die beiden Funktionen (linke Seiten der Gleichungen)
unterscheiden sich für kleine |x| nur um winzige Beträge.
Warum dies so ist, erkennt man bei der Betrachtung ihrer
Taylorreihen (mit [mm] x_0 [/mm] = 0). Diese unterscheiden sich
erst ab dem Glied fünfter Ordnung !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:11 So 15.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Erst einmal DANKE an euch alle, die ihr euch mit dieser Aufgabe beschäftigt habt.
Als ich mir die Aufgabe ausdachte, nahm ich zunächst an, es müsste eine "einfache" Lösung geben, weil die Zeichnung ja auch recht unkompliziert aussieht.
Doch dann bemerkte ich, dass meine Formel nur durch "Probieren" lösbar zu sein schien.
(Glücklicherweise hatte ich vor rund 20 Jahren auf meinem alten Commodore mal ein Basic-Programm geschrieben, das Nullstellen näherungsweise ermitteln kann)
Leduarts Überlegung mit dem Integral war genial. So gibt es also doch noch eine "einfache" Lösung, die ohne Annäherungsverfahen auskommt.
Im Nachhinein betrachtet, liegt das ja auch irgendwie auf der Hand: Fläche ==> denke ans Integral
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 So 15.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Leduarts Überlegung mit dem Integral war genial. So gibt es
> also doch noch eine "einfache" Lösung, die ohne
> Annäherungsverfahen auskommt.
Nein. Wie al-Chwarizmi schon geschrieben hat, hat leduart den [mm] $x\sqrt{1-x^2}$ [/mm] Term vernachlässigt. Mit diesem läßt sich seine Gleichung auch wieder nicht symbolisch lösen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich mich mit dem Lösen von Integralen nicht so gut auskenne, und daher auch nicht nachvollziehen kann, inwieweit Al-Chwarizmi Recht hat.
Aber ich fand es genial, dass leduart darauf gekommen ist, es über die Integralrechnung zu versuchen. Denn zumindest ist das schon ein Schritt weiter als die Formel, die ich vorher hatte, mit Näherungsverfahren aufzulösen.
Deshalb vielleicht doch noch mal meine konkrete Frage:
Ist es denn möglich, den Wert für h auszurechnen aus:
[mm] \integral_{h}^{1}{\wurzel{1-x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{6}
[/mm]
(Die Formel von leduart sah wohl ein klein wenig anders aus).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Di 17.06.2008 | | Autor: | Blech |
> Aber ich fand es genial, dass leduart darauf gekommen ist,
> es über die Integralrechnung zu versuchen. Denn zumindest
> ist das schon ein Schritt weiter als die Formel, die ich
> vorher hatte, mit Näherungsverfahren aufzulösen.
Nein, ist es nicht, weil man auf die Formel (all die Flächenformeln; auch meine) mit dem Integral kommt. =)
> Deshalb vielleicht doch noch mal meine konkrete Frage:
> Ist es denn möglich, den Wert für h auszurechnen aus:
>
> [mm]\integral_{h}^{1}{\wurzel{1-x^{2}} dx}[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{6}[/mm]
>
Dank Al-Chwarizmi hast Du ja schon eine Stammfunktion:
$ [mm] \bruch{1}{2} \cdot{}\left(\arcsin(x)+x\cdot{}\wurzel{1-x^2}\right) [/mm] $
Wenn Du da jetzt die Grenzen einsetzt, kommst Du wieder fast auf Deine urspr. Formel (fast, weil Du hier denk ich das Komplement zur obigen Fläche ausrechnest).
Lange Rede, kurzer Sinn. Es gibt, denk ich, keine Möglichkeit, eine geschlossene Lösung zu erhalten, und mein Vorschlag ist der "schönste", wenn Du ein paar Schritte Newton-Raphson von Hand rechnen willst. =)
Sonst ist R Dein Freund (oder Matlab, oder Dein eigenes Skript, oder was auch immer =P)
ciao
Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Di 17.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Lange Rede, kurzer Sinn. Es gibt, denk ich, keine
> Möglichkeit, eine geschlossene Lösung zu erhalten.
Danke, das ist eine klare Aussage.
So ein bisschen bin ich auch darüber "schadenfroh" *), eine Aufgabe "erfunden" **) zu haben, für die es keine geschlossene Lösung gibt.
*) Bei meinen bisherigen Versuchen, "unlösbare" Aufgaben zu stellen, fand ja doch immer jemand von Euch eine einfache Lösung, die jenseits des "Probierens" lag, und auch diesmal erschien es ja zunächst wieder so, als ob es eine derartige Lösung geben sollte
**) Ursprünglich hatte ich mir die obige Aufgabe für meine Nachhilfe-Schülerin der 9. Klasse ausgedacht, die gerade "Kreisberechnungen und Pi" in der Schule hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Blech |
> > Lange Rede, kurzer Sinn. Es gibt, denk ich, keine
> > Möglichkeit, eine geschlossene Lösung zu erhalten.
>
> Danke, das ist eine klare Aussage.
Bis auf das "denk ich". =P
Jedesmal, wenn ich absolute Aussagen treffe, werde ich widerlegt, also versuch ich's erst gar nicht. Ich würde einen miesen Pfarrer abgeben =)
> *) Bei meinen bisherigen Versuchen, "unlösbare" Aufgaben zu
> stellen, fand ja doch immer jemand von Euch eine einfache
> Lösung, die jenseits des "Probierens" lag, und auch diesmal
> erschien es ja zunächst wieder so, als ob es eine derartige
> Lösung geben sollte
Polynome mit exponentiellen Ausdrücken zu mischen, funktioniert fast immer. Differentialgleichungen sind i.a. auch todsicher.
> **) Ursprünglich hatte ich mir die obige Aufgabe für meine
> Nachhilfe-Schülerin der 9. Klasse ausgedacht, die gerade
> "Kreisberechnungen und Pi" in der Schule hat.
>
Man könnte mit einem anderen Flächenanteil als 1/2 für die Schnittfläche nachhelfen. Dann könnte man einen leichten, exakten Wert "erraten".
ciao
Stefan
|
|
|
|
