Fläche zw. Graph und x-Achse.. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Fr 29.04.2005 | | Autor: | silja |
Hallo ihr. so langsam aber sicher komm ich doch bisschen ins schwitzen - am montag hab ich schriftliche!...
hab viel zu viele fragen, um sie alle stellen zu können, aber beim durchrechnen bin ich immer bei den letzten aufgaben der Kurvendiskussion hängengeblieben...
gegeben ist der Graph [mm]x*(ln(bx)-4)[/mm].
g) Der Graph der Fuktion [mm] f_{b}(x)[/mm] umschließt mit der x-Achse die Fläche 7,452 FE.. Berechnen Sie b! (Lösung b=1)
Ich bin soweit gekommen:
[mm] A=\integral_{0}^{\bruch{e^4}{b}}(x(ln(bx)-4) [/mm] dx
(die Grenze [mm] {\bruch{e^4}{b}} [/mm] ist, weil dort die Nullstelle ist und also die Fläche dort aufhört...)
so. dann muss ich mit partieller intergration arbeiten und da gehts auch schon los... habe dann gerechnet:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{e^4}{b}}[ln(bx)-4+x*\bruch{b}{bx}] [/mm] ,ist das richtig?!und dann komm ich irgendwie nicht weiter....
wär lieb, wenn mir jemand auf die sprümge helfen könnte 
schöne grüße, silja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 29.04.2005 | | Autor: | silja |
hey, das ist ja klasse, das sich da sooo schnell jemand meldet - danke! (wo gibts eigentlich die ganzen coolen smileys?)
dann versuch ich das mal zu rechnen. ich dachte, dass ich schon direkt am anfang partielle integration machen muss /kann... ach, und da war irgendne formel, stimmt, deshalb deine letzte Zeile mit dem doppelten integral, oder? wie geht die nochmal - und warum muss ich die nehmen?
so. dann wollt ich noch wissen:
ist es egal, welche sachen ich für u und welche für v nehme oder dann plötzlich v' oder so?
schönen abend noch und liebe grüße, silja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> ach, und da war irgendne formel, stimmt, deshalb
> deine letzte Zeile mit dem doppelten integral, oder? wie
> geht die nochmal - und warum muss ich die nehmen?
*Verwirrung* Du meinst, warum ich das eine Integral in zwei Integrale auflöse?
Das ist doch die  Summenregel für Integrale, wonach ich ein Integral einer Summe einzeln als Summe der Einzelintegrale berechnen darf.
Oder meinst Du jetzt die Formel für die partielle Integration?
Die lautet:
[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {u' * v \ dx} \ = \ u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u * v' \ dx}$
> ist es egal, welche sachen ich für u und welche für v
> nehme oder dann plötzlich v' oder so?
Im allgemeinen ist das nicht egal, was man für $u'$ bzw. $v$ wählt. Da muß man evtl. kurz probieren. (Mit etwas Übung bekommt man da ein Gespür dafür ...)
In unserem speziellen Fall, wäre es sogar egal, da führen beide Wege zum Ziel. Aber der andere Weg ist etwas aufwendiger ...
Gruß
Loddar
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Hallo silja,
> ich muss aber immer u' und v nehmen oder v' und u? oder
> kann ich die auch u und v nennen?
Entweder u' und v oder v' und u.
Das kommt aber im Endeffekt auf's selbe raus.
[mm]
\begin{gathered}
\int {u'\;v\;dx} \; = \;u\;v\; - \;\int {u\;v'\;dx} \hfill \\
\int {u\;v'\;dx} \; = \;u\;v\; - \;\int {u'\;v\;dx} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Silja,
Mathepower hat dir ja schon gezeigt, dass es keine Rolle spielt ob man die entsprechenden Funktionen die den Integranden bilden ($u'$ und $v$) oder ($u$ und $v'$) nennt. In beiden Fällen ist dann die Gleichheit erfüllt - allerdings kann es für die Lösbarkeit des Integrals auf der rechten Seite von Bedeutung sein, welcher Faktor als Ableitung und welcher als Stammfunktion eingeht.
Beispiel:
[mm] $\begin{matrix}
\int x \cdot e^x dx &=& \left[ x \cdot e^x\right] - \int \frac{1}{2}x^2\cdot e^x dx\\
&=& \left[x \cdot e^x\right] - \int 1\cdot e^x dx
\end{matrix}$
[/mm]
Bei der ersten Variante hat man [mm] $u=e^x$ [/mm] und $v'=x$ gesetzt, daher wurde dann das Integral auf der rechten Seite noch schwieriger. Wählt man wie im zweiten Fall $u=x$ und [mm] $v'=e^x$ [/mm] wird das verbleibende Integral lösbar. Mathematisch korrekt sind aber beide Umformung!
Du hattest ja noch gefragt, ob man das Produkt des Integranden als [mm] $u\cdot [/mm] v$ schreiben kann. Theoretisch geht dass, aber dann muss man
[mm] $\int_a^b u(x)\cdot [/mm] w(x) dx = [mm] \left[u(x)\cdot W(x)\right]_a^b [/mm] - [mm] \int_a^b u'(x)\cdot [/mm] W(x) dx$
benutzten, wobei $W$ dann Stammfunktion zu $w$ ist. Da man aber natürlich $W=v$ und $w=v'$ setzen kann sind die Schreibweisen nur leicht unterschiedlich und meinen das gleiche - aber die Angaben von Loddar, Mathepower sind die geläufigeren.
Gruß Max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 01.05.2005 | | Autor: | silja |
danke, dann drückt mir mal morgen die daumen, dass ich paar punkte im schriftlichen kriege... :-(
schönen abend noch, silja
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