Fläche zwischen 2 Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Ute |
Um die Fläche zwischen den Funktionen f(x)=x² und g(x)= -x +2 rauszukriegen, setze ich sie gleich.
x²= -x+2 |-2
x²-2=-x |+x
x²+x-2=0
pq-Formel anwenden
(Zwischenschritte lasse ich mal aus)
-1/2 + 1,5 = 1
-1/2 - 1,5 = -2
Wie mache ich jetzt weiter?
Bilde ich jetzt den Mittelwert zwischen 1 und -2, setze diesen für x in die Ausgangfunktionen f(x) und g(x) ein und schaue dann, wo ein höherer Wert rauskommt?
f(0) = 0
g(0) =2
bei g(x) ist der Wert höher, deshalb ziehe ich f(x) von g(x) ab, oder?
[mm] \integral_{-2}^{1} g(x)\, [/mm] dx - [mm] \integral_{-2}^{1} f(x)\, [/mm] dx
und dann mache ich einfach weiter mit normaler Integralberechnung, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Ute!
> Um die Fläche zwischen den Funktionen f(x)=x² und g(x)= -x
> +2 rauszukriegen, setze ich sie gleich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x²= -x+2 |-2
> x²-2=-x |+x
> x²+x-2=0
> pq-Formel anwenden
> (Zwischenschritte lasse ich mal aus)
> -1/2 + 1,5 = 1
> -1/2 - 1,5 = -2
> Wie mache ich jetzt weiter?
> Bilde ich jetzt den Mittelwert zwischen 1 und -2, setze
> diesen für x in die Ausgangfunktionen f(x) und g(x) ein und
> schaue dann, wo ein höherer Wert rauskommt?
> f(0) = 0
> g(0) =2
Das kannst du so machen, ja. Aber das ist nicht der Mittelwert, sondern nur irgendein Wert aus dem Intervall $(-2,1)$.
Du hättest diese Überlegung auch sein lassen und einfach den Betrag setzen können, dann ist es egal, welche Funtion du von welcher abziehst.
In diesem Fall hättest du einfach
$A= [mm] \left\vert \integral_{-2}^1 ( f(x) - g(x) )\, dx \right\vert$
[/mm]
berechnen müssen.
> bei g(x) ist der Wert höher, deshalb ziehe ich f(x) von
> g(x) ab, oder?
Wie gesagt, ist richtig, dann kannst du die Betragsstriche weglassen.
> [mm]\integral_{-2}^{1} g(x)\,[/mm] dx - [mm]\integral_{-2}^{1} f(x)\,[/mm]
> dx
Ja, aber einfacher ist es dann, direkt
[mm] $\integral_{-2}^1 (g(x)-f(x))\, [/mm] dx = [mm] \integral_{-2}^1 (-x+2-x^2)\, [/mm] dx$
zu berechnen. Das ist das Gleiche, was du gemacht hättest, weil das Integral einer Summe zweier Funktionen die Summe der beiden Integrale ist (man sagt: das Integral ist additiv). Es ist nur etwas weniger Schreibaufwand.
Teilst du uns dein Ergebnis bitte noch zur Kontrolle mit? Danke! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Ute |
Ich habe 4,5 raus.
Das mit dem additiven Integral habe ich nicht verstanden; setzt man dann für jeden x= -1 ein weil -2 + 1 = -1 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Ute!
> Ich habe 4,5 raus.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Das mit dem additiven Integral habe ich nicht verstanden;
> setzt man dann für jeden x= -1 ein weil -2 + 1 = -1 ist?
Ich erkläre es noch einmal, klar.  Du wolltest ja
[mm] $\int\limits_{-2}^1 g(x)\, [/mm] dx - [mm] \int\limits_{-2}^1 [/mm] f(x), dx$
berechnen. Das würde man dann ja so machen:
[mm] $\int\limits_{-2}^1 g(x)\, [/mm] dx - [mm] \int\limits_{-2}^1 [/mm] f(x), dx$
$= [mm] \int\limits_{-2}^1 (-x+2)\, [/mm] dx - [mm] \int\limits_{-2}^1 x^2\, [/mm] dx$
$= [mm] [-\frac{1}{2}x^2 +2x]_{-2}^1 [/mm] - [mm] [\frac{1}{3}x^3]_{-2}^1$
[/mm]
$= [mm] (-\frac{1}{2} [/mm] + 2 + 2 + 4) - [mm] (\frac{1}{3} [/mm] + [mm] \frac{8}{3})$
[/mm]
$= 7,5 -3$
$=4,5$.
Stattdessen kann man aber auch
[mm] $\int\limits_{-2}^1 (g(x)-f(x))\, [/mm] dx $
berechnen. Das würde man dann so machen:
[mm] $\int\limits_{-2}^1 (g(x)-f(x))\, [/mm] dx $
$= [mm] \int\limits_{-2}^1 (-x+2-x^2)\, [/mm] dx$
$= [mm] [-\frac{1}{2}x^2 [/mm] + 2x - [mm] \frac{1}{3}x^3]_{-2}^1$
[/mm]
$= [mm] (-\frac{1}{2} [/mm] + 2 - [mm] \frac{1}{3}) [/mm] - (-2 - 4 + [mm] \frac{8}{3})$
[/mm]
$= [mm] \frac{7}{6} [/mm] + [mm] \frac{10}{3}$
[/mm]
$= [mm] \frac{27}{6}$
[/mm]
$= 4,5$.
Wie du siehst, tut sich nicht viel. Nur die Reihenfolge ändert sich.
Es ist also egal, ob man erst die Integrale ausrechnet und dann die Werte voneinander abzieht oder ob man erst die Funktionen voneinander abzeiht und das Integral der Differenzenfunktion ausrechnet.
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Ute!!!
Das mit dem Gleichsetzen hast du gut gemacht!!Die Werte die du herausbekommen hast,sind jene x-Werte, dei denen die Funktionen g(x) und f(x) die gleichen Werte haben(= Schnittpunkte)!!!!Das sagt nichts darüber heraus welche der beiden Funktionen oberhalb bzw. unterhalb ist!!!!
Zeichne beide Grafen und überlege dir welche oberhalb bzw. unterhalb ist!!!
Eine Skizze ist bei solchen Aufgaben das wichtigste !!!
Wenn g(x) oberhalb, dann kannst du sagen:
A= [mm] \integral_{-2}^{1} [/mm] {[g(x)-f(x)]*dx }!!!!
Alles klar???Mfg Daniel
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