Fläche zwischen 2 kreisen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Di 15.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Hallo, am ende der Stunde ( liegt schon etwas länger zurück, heute neu aufgegriffen ) warf unser lehrer ne aufgabe in die runde. Wir sollten rauskriegen für welchen radius ein kreis welches auf dem rand eines anderen kreises seinen mittelpunkt hat diesen von der fläche her genau in der mitte teilt.
Ich habe mir da jetzt etwas gedanken gemacht und bin folgenden weg gegangen:
f(x) = [mm] \wurzel{r^2_{1}-x^2}
[/mm]
g(x) = [mm] \wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2}
[/mm]
ich hab es der einfachheit mal in halbkreise unterteilt, da der radius ja gleich bleiben müsste.
danach habe ich die fläche zusammengefasst ( da der radius positiv sein muss steht g(x) rechts von f(x), somit kann ich gleich mal die Integrale richtig sortieren )
A = [mm] \integral_{g_{1}}^{g_{2}} {\wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{g_{2}}^{g_{3}} {\wurzel{r^2_{1}-x^2} dx}
[/mm]
jetzt fehlen jedoch noch die Grenzen, welche sich aber leicht ausdrücken lassen, da die erste grenze ja da sin muss, wo g(x)=0 ist und die 2. grenze dort, wo f(x)=g(x) ist und die letzte dort, wo f(x)=0 ist.
[mm] g_{1} [/mm] :
0 = [mm] \wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} [/mm] | ^2
0 = [mm] r^2_{2}-(r_{1}-x)^2
[/mm]
0 = [mm] r^2_{2}-r^2_{1}+2*r_1*x-x^2 [/mm] | *(-1)
0 = [mm] x^2-2*r_1*x+(r^2_{1}-r^2_{2})
[/mm]
wenn ich das jetzt in p,q ausdrücken will ergibt sich:
p = [mm] (-2*r_1) [/mm] q = [mm] (r_1^2-r^2_2)
[/mm]
= [mm] r_1 \pm \wurzel{r^2_1 - r_1^2+r^2_2}
[/mm]
[mm] g_1 [/mm] = [mm] r_1-r_2
[/mm]
[mm] g_2 [/mm] :
[mm] \wurzel{r^2_{1}-x^2} [/mm] = [mm] \wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} [/mm] | ^2
[mm] r^2_{1}-x^2 [/mm] = [mm] r^2_{2}-r^2_{1}+2*r_1*x-x^2 [/mm] | [mm] +x^2
[/mm]
[mm] r^2_{1} [/mm] = [mm] r^2_{2}-r^2_{1}+2*r_1*x [/mm] | [mm] -r^2_2 +r^2_1
[/mm]
[mm] 2*r^2_{1}-r^2_{2} [/mm] = [mm] 2*r_1*x [/mm] | [mm] :(2*r_1)
[/mm]
[mm] \bruch{2*r^2_{1}-r^2_{2}}{2*r_1} [/mm] = x
[mm] g_2 [/mm] = [mm] \bruch{2*r^2_{1}-r^2_{2}}{2*r_1}
[/mm]
[mm] g_3 [/mm] :
0 = [mm] \wurzel{r^2_{1}-x^2} [/mm] | ^2
0 = [mm] r^2_{1}-x^2 [/mm] | [mm] +x^2
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] r^2_{1} [/mm] | [mm] \wurzel{}
[/mm]
x = [mm] r_1
[/mm]
[mm] g_3 [/mm] = [mm] r_1
[/mm]
Somit ergibt sich für meine Formel:
A = [mm] \integral_{r_1-r_2}^{\bruch{2*r^2_{1}-r^2_{2}}{2*r_1}} {\wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{2*r^2_{1}-r^2_{2}}{2*r_1}}^{r_1} {\wurzel{r^2_{1}-x^2} dx}
[/mm]
Stimmt das ganze überhaupt soweit ??
Und wie sollte ich es weiter auflösen ??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 15.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber ElPresi
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dein Lehrer hat da ein uraltes Problem angesprochen, welches nicht mit einer geschlossenen Formel gelöst werden kann: Das Ziegenproblem.
Deine Frage wurde schon mal im Matheraum gestellt. Siehe dazu doch bitte diesen Strang mit interessanten Links ins WWW:
https://matheraum.de/read?i=39597
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 15.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Hm, das macht es mir ja gerade noch interresanter. Besonders da ich bisher nirgends diesen Lösungsansatz fand, bzw hier gebracht hat ( hab den link, welcher mir gegeben wurden mal angeschaut und die unterlinks auch ).
Es ist mir nun auch nicht so wichtig, das ich auf eine Lösung kommen muss, was mir viel wichtiger ist, wäre jetzt die Stammfunktion zu
A = [mm] \integral_{r_1-r_2}^{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}} {\wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} dx} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}}^{r_1} {\wurzel{r^2_{1}-x^2} dx}
[/mm]
dann könnte ich nämlich weiterrechnen :)
Ich bin halt ein eher hartnäckiger Geselle ( erinnert mich an die Wochen/Monate, welche ich in das PrimpaarProblem investiert habe um am ende immerhin um viele Vermutungen und ansätze weiter zu sein und neben bei C angeeignet habe um Programme zu schreiben die mir bei der Überprüfung meiner Vermutungen und ausgabe von Primpaaren halfen )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 16.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo ElPresi,
> [mm]\integral_{r_1-r_2}^{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}} {\wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} dx}[/mm]
> +
> [mm]\integral_{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}}^{r_1} {\wurzel{r^2_{1}-x^2} dx}
[/mm]
So ein Integral nennt man Kreisintegral. Die Stammfunktion erhältst du, indem du eine der folgenden Substitutionen anwendest:
[mm]x=r*sin(z)[/mm]
oder
[mm]x=r*cos(z)[/mm]
Die Integrationsgrenzen ändern sich natürlich dementsprechend.
Anschließend musst du noch partiell integrieren und den trigonometrischen Pythagoras anwenden.
Grüße,
Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 16.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
und wie soll ich das genau machen ??
wie gesagt bin ich in der bildung dieser stammfunktion sehr geplagt und daher wäre ich über eine lösung dankbar ( habe leider keinen ansatz ).
desweiteren erkläre bitte, warum ich sowohl mit cos und sin arbeiten kann :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 16.02.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo ElPresi,
> und wie soll ich das genau machen ??
ok, ich kann das ja mal an einem allgemeinen Beispiel vorrechnen:
[mm] \integral_{a}^{b} { \wurzel{r^2-x^2} dx}[/mm] (1)
Substitution: [mm]x=r*sin(z)[/mm] (2) (Hier hätte ich auch den Cosinus nehmen können, s.u.)
Ableitung bilden... [mm] \bruch{dx}{dz}=r*cos(z)
[/mm]
...und nach dx umformen [mm]dx=r*cos(z)dz[/mm]
Die Grenzen ändern sich ja auch, also (2) nach z umformen: [mm]z(x)=arcsin( \bruch{x}{r})[/mm]
Und schließlich alles in (1) einsetzen:
[mm] \integral_{z(a)}^{z(b)} { \wurzel{r^2-r^2*sin^{2}(z)}*r*cos(z) dz}= \integral_{z(a)}^{z(b)} {r^2 \wurzel{1-sin^{2}(z)}*cos(z) dz}[/mm]
So, hier kommt der trigonometrische Pythagoras ins Spiel. Es gilt ja: [mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1 \gdw cos^{2}(x)=1-sin^{2}(x)
[/mm]
Eingesetzt in das Integral:
[mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}[/mm] Hätte ich am Anfang den Cosinus genommen, stünde jetzt im Integral der Sinus...
Jetzt wird partiell integriert:
[mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\underbrace{cos(z)}_{=u'}* \underbrace{cos(z)}_{=v} dz}=r^2[ \underbrace{sin(z)}_{=u}* \underbrace{cos(z)}_{=v}] \bla_{z(a)}^{z(b)}-r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} { \underbrace{sin(z)}_{=u}* \underbrace{(-sin(z))}_{=v'} dz}[/mm]
[mm]=r^2[sin(z)*cos(z)] \bla_{z(a)}^{z(b)}+r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {sin^{2}(z) dz}[/mm]
Jetzt kommt wieder der trigonometrische Pythagoras ins Spiel:
[mm]=r^2[sin(z)*cos(z)] \bla_{z(a)}^{z(b)}+r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {1-cos^{2}(z) dz}=r^2[sin(z)*cos(z)] \bla_{z(a)}^{z(b)}+r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {1 dz}-r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}[/mm]
Das ganze verkürzt:
[mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}=r^2[sin(z)*cos(z)+z] \bla_{z(a)}^{z(b)}-r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}[/mm]
Auf beiden Seiten der "Gleichung" [mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}[/mm] addieren:
[mm]2r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}=r^2[sin(z)*cos(z)+z] \bla_{z(a)}^{z(b)}[/mm]
Also:
[mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}= \bruch{r^2}{2}[sin(z)*cos(z)+z] \bla_{z(a)}^{z(b)}[/mm]
Ich hab versucht, das so ausführlich wie möglich zu machen, allerdings wäre es natürlich gut, wenn dir Substitution und partielle Integration ein Begriff sind.
> desweiteren erkläre bitte, warum ich sowohl mit cos und sin
> arbeiten kann :)
Das eine ist die Ableitung des anderen und umgekehrt (wenn man die Vorzeichen mal beiseite lässt). Du kannst es ja mal nachrechnen - du wirst bei beiden Substitutionen auf das gleiche Ergebnis kommen.
Ich hoffe, du konntest die Rechnung nachvollziehen... 
Grüße,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:54 Mi 16.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Danke, die antwort war sehr gut :)
ich sehe da drin zwar ein mögliches problem für weitere rechnungen, wenn die grenzen mit x "verseucht" werden, jedoch scheint sich dies umformen zu lassen ( wird sich zeigen wie die neuen grenzen sind )
ich werde demnächst meine lösung des ganzen mal posten und dadrin dann mal um eine überprüfung bitte :) da ich mir nicht sicher bin ich dann auch alles richtig gemacht habe, jetzt kann ich aber immerhin ansetzen, vielen dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Fr 18.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
Also ich habe das ganze mal durchgerechnet und verstehe nicht, wie
[mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}
[/mm]
zu
[mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}=r^2[sin(z)\cdot{}cos(z)+z] \bla_{z(a)}^{z(b)}-r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz} [/mm]
wird.
Desweiteren hab ich mal mit deinem ergebnis weitergerechnet und habe dann für die grenzen :
[mm] z(g_2) [/mm] : ( [mm] g_2 [/mm] = [mm] \bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1} [/mm] )
= [mm] arcsin\left( \bruch{\bruch{2*r_1^2-r_2^2}{2*r_1}}{r_1} \right)
[/mm]
= [mm] arcsin\left( \bruch{2*r_1^2-r_2^2}{2*r_1^2} \right)
[/mm]
= [mm] arcsin\left( 1-\bruch{r_2^2}{2*r_1^2} \right)
[/mm]
[mm] z(g_3) [/mm] : ( [mm] g_3 [/mm] = [mm] r_1 [/mm] )
= [mm] arcsin\left( \bruch{r_1}{r_1} \right)
[/mm]
= arcsin(1)
ich hab jetzt noch nicht weitergerechnet, da ich nicht weiß ob du mit verkürzt etwas von den obigen schritten weggelassen hast oder dich jetzt nur noch auf [mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz} [/mm] konzentriet hast und dies einzeln gelöst hat ( oder gar beides ).
Desweiteren passiert mir, wenn ich das Integral
[mm] \integral_{r_1-r_2}^{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}} {\wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-x)^2} dx} [/mm]
auflösen will, das es zu einer recht schwieirgen rechnung kommt ( ich habe mich da anfangs sehr an dein beispiel angelehnt ):
[mm] x=r_2\cdot{}sin(z) [/mm]
[mm] \bruch{dx}{dz}=r_2\cdot{}cos(z) [/mm]
[mm] dx=r_2\cdot{}cos(z)dz
[/mm]
z(x)=arcsin( [mm] \bruch{x}{r_2})
[/mm]
= [mm] \integral_{r_1-r_2}^{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}} {\wurzel{r^2_{2}-(r_{1}-r_2*sin(z))^2} r_2*cos(z) dz} [/mm]
= [mm] \integral_{r_1-r_2}^{\bruch{2\cdot{}r^2_{1}-r^2_{2}}{2\cdot{}r_1}} {\wurzel{r^2_{2}-r_{1}^2+2*r_1*r_2*sin(z)-r_2^2*sin^2(z)} r_2*cos(z) dz} [/mm]
und jetzt weißich nicht mehr weiter :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Sa 19.02.2005 | | Autor: | wysi |
> Also ich habe das ganze mal durchgerechnet und verstehe
> nicht, wie
>
> [mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}
[/mm]
>
> zu
>
> [mm]r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}=r^2[sin(z)\cdot{}cos(z)+z] \bla_{z(a)}^{z(b)}-r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {cos^{2}(z) dz}[/mm]
>
>
> wird.
Das ist eben die angesprochene partielle Integration.
Erklären kann man das folgendermassen:
Wir gehen von einem Produkt von Funktionen F(x) und G(x) aus. Dann gilt für die Ableitung:
[mm] \bruch{d}{dx}(F(x)\*G(x)) [/mm] = [mm] \bruch{dF(x)}{dx}\*G(x)+F(x)\*\bruch{dG(x)}{dx}
[/mm]
Das können wir nun beidseitig integrieren und wir erhalten:
[mm]\int_{}^{} \bruch{d}{dx}(F(x)\*G(x))dx = \int_{}^{} \bruch{dF(x)}{dx}\*G(x)dx+\int_{}^{} F(x)\*\bruch{dG(x)}{dx}dx[/mm]
Dabei ist [mm]\int_{}^{} \bruch{d}{dx}(F(x)\*G(x))dx = F(x)\*G(x)[/mm] und wir formen obige Gleichung um zur Formel für die partielle Integration:
[mm]\int_{}^{} \bruch{dF(x)}{dx}\*G(x)dx = F(x)\*G(x)-\int_{}^{} F(x)\*\bruch{dG(x)}{dx}dx[/mm]
In deinem Beispiel schreibst du also: [mm] \bruch{dF(z)}{dz} [/mm] = [mm] \cos(z) [/mm] und [mm]G(z) = \cos(z)[/mm]
Nun rechnest du F(z) und die Ableitung von G(z): [mm]F(z)=\sin(z)[/mm] und [mm]\bruch{dG(z)}{dz}=-\sin(z)[/mm]
Also eingesetzt in die Formel für die partielle Integration:
$ [mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\cos^{2}(z) dz}=r^2[\sin(z)\cdot{}\cos(z)] \bla_{z(a)}^{z(b)}+r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\sin^{2}(z) dz} [/mm] $
mit [mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\sin^{2}(z) dz}=r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {1-\cos^{2}(z) dz}
[/mm]
erhälst du dann:
$ [mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\cos^{2}(z) dz}=r^2[\sin(z)\cdot{}\cos(z)] \bla_{z(a)}^{z(b)}+r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} [/mm] {1 [mm] dz}-r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\cos^{2}(z) dz} [/mm] $
Dann beideitig plus [mm] r^2 \integral_{z(a)}^{z(b)} {\cos^{2}(z) dz} [/mm] und durch 2 dividieren und du hast das Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Sa 19.02.2005 | | Autor: | ElPresi |
nene, war schon [mm] g_3 [/mm] gemeint, mit [mm] r_1 [/mm] :)
da ich dafür ja das z(x) nehmen konnte, da es fertig aufgelöst war, nur bei dem anderem hatte ich probleme, da sich ja diese merkwürdige form ergab und ich somit nicht weiterrechnern konnte und daher auch nicht wusste ob der schritt für die integration geeignet war und sich diese ggf. verschieben würden.
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Integration![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Partielle Integration![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
