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| Aufgabe | Gegeben sind folgende drei Funktionen:
f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
g(x) = x+a
h(x) = b
wobei der Graph von h(x) durch den rechten Schnittpunkt von f(x) und g(x) verläuft
Frage:
Welchen Wert muss a bzw. b haben, damit die blaue und die rote Fläche gleich groß sind?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Bild dient nur zur Klarstellung, was gemeint ist. Der darauf dargestellte Punkt S ist nicht die Lösung zu dieser Aufgabe.
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Auf den ersten Blick sieht es so aus, als sei die Aufgabe problemlos lösbar: Die Bedingungen sind klar, und auch Integrale mit linker und rechter Grenze lassen sich aufstellen. Dennoch gestaltet sich die Sache ab einem gewissen Punkt schwieriger als gedacht.
Falls jemand Lust hat, kann er sich daran ja mal versuchen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Di 19.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Ralph,
ist das als Übungsaufgabe gemeint?
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Di 19.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> ist das als Übungsaufgabe gemeint?
Ja, das kann man so auffassen. Wer sich daran versuchen möchte, kann es gerne tun.
Ich weiß nicht, was da raus kommt. Aber offensichtlich gibt es eine Lösung. Denn die rote Fläche beginnt bei NULL und wird mit zunehmendem b immer größer.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:45 Di 19.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo allerseits,
wer es versuchen will, hat zumindestens viel zu rechnen.
Explizit ist die Aufgabe allerdings nicht zu lösen. Man bekommt - je nach Ansatz - eine Gleichung mindestens 8. Grades, die nur numerisch zu lösen ist. Soweit ich sehe, sind die Lösungen irrational.
Dafür scheint es drei Lösungen zu geben. Das hätte ich nicht erwartet.
Ein Tipp: vielleicht ist der Achsenabschnitt a der Funktion g(x) nicht die bequemste Methode, g(x) und h(x) eindeutig zu bestimmen. Geschickte Parameterwahl erspart hier ein wenig Rechenarbeit, aber leider nicht viel.
Viel Erfolg!
reverend
PS: Mal "eben" und bisher ohne weitere Überprüfung bekomme ich folgende Werte für a:
[mm] a_1=-0,095669365
[/mm]
[mm] a_2=1,645955227
[/mm]
[mm] a_3=18,51229297
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Di 19.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Soweit ich sehe, sind die Lösungen irrational.
Na gut. Das war wohl zu erwarten.
> Dafür scheint es drei Lösungen zu geben. Das hätte ich nicht erwartet.
Ich auch nicht. Ich hatte nur mit einer Lösung von a zwischen 1 und 2 gerechnet. Dein Ergebnis von a=1.646 bestätigt diese Lösung ja.
Das Interessante ist, dass es immer wieder wechselt, ob die rote oder die blaue Fläche größer ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Di 19.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Dafür scheint es drei Lösungen zu geben.
> ... folgende Werte für a:
> [mm]a_1=-0,095669365[/mm]
> [mm]a_2=1,645955227[/mm]
> [mm]a_3=18,51229297[/mm]
[mm]a_1=-0,09[/mm] und [mm]a_3=18,51[/mm] erscheinen mir irgendwie sehr unwahrscheinlich.
Weil: Ich habe die Graphen mal mit den obigen Werten gezeichnet. Und da scheinen die Flächen nicht gleichgroß zu sein.
Meines Erachtens gibt es nur eine einzige Lösung.
Weil: Bei sehr kleinem Wert für a bzw. für b ist die rote Fläche viel kleiner als die blaue. Wenn der Wert für a bzw. für b größer wird, dann wird der relative Rot-Anteil immer größer.
Und die Frage war: Für welchen Wert für a bzw. für b sind beide Anteile gleichgroß ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mi 20.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Mein Ansatz hierzu war folgendermaßen:
[mm] x^{2}=x+a
[/mm]
Die Punkte R und S ergeben sich aus:
[mm] x_{R}=\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{1}{4}+a}
[/mm]
[mm] x_{S}=\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+a}
[/mm]
Ferner gilt: [mm] b=x_{S}^{2}
[/mm]
Die gesamt rot-blaue Fläche ist:
[mm] F_{1}+F_{2}=\integral_{-x_{S}}^{x_{S}}{(b-x^{2}) dx}
[/mm]
Und die rote Fläche ist:
[mm] F_{2}=\integral_{x_{R}}^{x_{S}}{(x+a-x^{2}) dx}
[/mm]
Nun muss man [mm] F_{1}=F_{2} [/mm] setzen und dieses ganze Sammelsurium an Gleichungen nach a auflösen. Und genau das scheint ein umfangreiches Unterfangen zu sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Mi 20.05.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo informix,
der Ansatz gefällt mir. Meiner war umständlicher.
Im Moment komme ich leider nicht zum Nachrechnen.
Vielleicht jemand anders?
Liebe Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Do 21.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Sobald man das Ergebnis (hier a=3.45) kennt, ist es ganz einfach, mit Hilfe meiner Formeln die einzelnen Werte zu ermitteln:
[mm] x_{R}=-1.42
[/mm]
[mm] x_{S}=2.42
[/mm]
b=5.86
[mm] F_{1}+F_{2}=19
[/mm]
[mm] F_{2}=9.5 [/mm] ( und somit [mm] F_{1}=9.5 [/mm] )
Ich habe das alles sehr stark gerundet. Es kam mir nur darauf, an die Plausibilität von a=3.45 zu überprüfen.
Diese Überprüfung hat ergeben, dass a=3.45 plausibel ist.
Somit ist auch a=3.450471838 plausibel.
Danke euch allen für die Mühe.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
