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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion:
x(t)=2+a*cos(t)
y(t)=3+b*sin(t)
mit konstanten, reellen parametern a und b.
berechnen sie die fläche der geschlossenen kurve mit der leibnizschen sektorformel. |
hallo zusammen...
hierbei handelt es sich wieder um eine aufgabe einer altklausur und ich habe erneut nen abweichendes ergebniss zur musterlösung...
habe die aufgabe jetzt mehrere male gerechnet und komme immer auf ein und das selbe ergebniss...
leibnizschen sektorformel: [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{(x*y'-x'*y) dt}
[/mm]
x(t)=2+a*cos(t)
x'(t)=-a*sin(t)
y(t)=3+b*sin(t)
y'(t)=b*cos(t)
[mm] x(t)*y'(t)=n(t)=(2+a*cos(t))*(b*cos(t))=2b*cos(t)+ab*cos(t)^{2}
[/mm]
[mm] x'(t)*y(t)=m(t)=(-a*sin(t))*(b*cos(t))=-3a*sin(t)-ab*sin(t)^{2}
[/mm]
n(t)-m(t)=2b*cos(t)+3a*sin(t)+ab
da es sich bei der kurve um eine ellipse handelt und diese symetrisch ist kann man die fläche ja entweder mit [mm] \integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx} [/mm] oder mit [mm] 2*\integral_{0}^{\pi}{f(x) dx} [/mm] berechnen oder?
ich habe mich fürdie version von 0 bis [mm] \pi [/mm] entschieden
--> [mm] \bruch{1}{2}*2*\integral_{0}^{\pi}{(2b*cos(t)+3a*sin(t)+ab) dt}=a*b*\pi-3a-2b
[/mm]
in der musterlösung steht als lösung nur [mm] a*b*\pi [/mm] auch in formelsammlungen steht für die fläche einer ellipse die formel [mm] a*b*\pi...
[/mm]
ich habe aber keine ahnung wo ich hier mein fehler machen...
sieht das jemand von euch?
vielen dank schon mal im vorraus....
mfg Gwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Sa 15.07.2006 | | Autor: | DirkG |
da es sich bei der kurve um eine ellipse handelt und diese symetrisch ist kann man die fläche ja entweder mit [mm]\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}[/mm] oder mit [mm]2*\integral_{0}^{\pi}{f(x) dx}[/mm] berechnen oder?
Nein, eben nicht! Die Symmetrie greift bei dieser Formel nicht (wie kommst du überhaupt drauf?), du hast es eben selbst erfahren. Also nimm die erste Variante, dann klappt's auch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 So 16.07.2006 | | Autor: | Gwin |
hi Dirk...
warum greift denn hier die symmetrie nicht?
ist das mit der symmetrie nur bei funktionen in polarkoordinaten möglich?
mfg Gwin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Mo 17.07.2006 | | Autor: | DirkG |
Wenn der Integrand $I(t):=x(t)y'(t)-x'(t)y(t)$ periodisch mit Periode [mm] $\pi$ [/mm] ist, also [mm] $I(t+\pi)=I(t)$, [/mm] dann kannst du so vorgehen. Und das ist der Fall bei punktsymmetrischen Figuren bzgl. des Ursprungs - nicht aber bei Punktsymmetrien mit anderem Zentrum, wie das hier der Fall ist!
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