www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integralrechnung" - Flächenberechnung
Flächenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Flächenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 So 10.09.2006
Autor: kevorkian

Aufgabe
ft(x)= [mm] \bruch{2x}{t²+x²} [/mm]

Hab folgende aufgabe zu lösen.
eine funktion ft sei gegeben durch ft(x)= [mm] \bruch{2x}{t²+x²}, [/mm]

Zwei Kurven Kt1 und Kt2 mit t1<t2 und die Gerade g:x=z, (z>0) begrenzen eine Fläche im 1. Feld. berechne ihren Inhalt A(z).
Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z--> + Unendlich? Wie groß ist A* bei den gekennzeichneten Kurven?
Für zwei Kurven Kt1 und Kt2 sei A*=1. Welche Beziehung besteht dann zwischen t1 und t2?

Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
Kurven Kt1 und Kt2 bestimmen, also zur darstellung 2 funktionen ins koordinatensystem gezeichnet, für einen festen wert t wobei t1<t2.
Wie aber soll nun die gerade da rein.
Danach muss man glaub ich mitm Integral die fläche ausrechnen.
Dazu Ft(x) bestimmen:  Ft(x)=  ft(x)= [mm] \bruch{x²}{t²+1/3x³}. [/mm] Ist das richtig?
Weiter weiß ich leder nicht :-(

Wäre dankbar für n paar tips...

Daniel

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Flächenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 10.09.2006
Autor: kevorkian

Ft(x)= [mm] \bruch{x²}{t²x+1/3x³} [/mm]
sry tippfehler...

Bezug
                
Bezug
Flächenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 So 10.09.2006
Autor: VNV_Tommy

ne, leider auch nicht richtig

Gruß Tommy

Bezug
        
Bezug
Flächenberechnung: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 So 10.09.2006
Autor: VNV_Tommy

Hallo Daniel!

> ft(x)= [mm]\bruch{2x}{t²+x²}[/mm]
>  Hab folgende aufgabe zu lösen.
>  eine funktion ft sei gegeben durch ft(x)=
> [mm]\bruch{2x}{t²+x²},[/mm]
>  
> Zwei Kurven Kt1 und Kt2 mit t1<t2 und die Gerade g:x=z,
> (z>0) begrenzen eine Fläche im 1. Feld. berechne ihren
> Inhalt A(z).
> Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z--> +
> Unendlich? Wie groß ist A* bei den gekennzeichneten Kurven?
> Für zwei Kurven Kt1 und Kt2 sei A*=1. Welche Beziehung
> besteht dann zwischen t1 und t2?
>  
> Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
>  Kurven Kt1 und Kt2 bestimmen, also zur darstellung 2
> funktionen ins koordinatensystem gezeichnet, für einen
> festen wert t wobei t1<t2.
>  Wie aber soll nun die gerade da rein.

Die gerade ist eine Senkrechte zur x-Achse an der Stelle z. Mit dieser Angabe wird dir die obere Integrationsgrenze angegeben.

Die untere Grenze des Integrals ist wahrscheinlich  x=0, da deine beiden Kurven [mm] K_{t1} [/mm] und [mm] K_{t2} [/mm] im 1.Feld (ich nehme an es ist der erste Quadrant eines kartesischen Koordinatensystems gemeint) mit der Geraden g die Fläche begrenzen sollen. Die untere Integrationsgrenzen könnte aber auch eine andere sein.(siehe Tipp am Ende des Postings)

Es gilt also folgendes Integral zu lösen:
[mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{2x}{t^{2}x+x^{2}} dx}=A(z) [/mm]

>  Danach muss man glaub ich mitm Integral die fläche
> ausrechnen.
>  Dazu Ft(x) bestimmen:  Ft(x)=  ft(x)=
> [mm]\bruch{x²}{t²+1/3x³}.[/mm] Ist das richtig?

Ne, leider nicht richtig, da es sich hier um einen Quotienten handelt. Leider gibt es nicht eine schöne Quotientenregel der Integration wie es sie bei der Differentiation gibt.

Auf den ertsen Blick fällt mir hier die Substitution ein.
Substituiere also den gesamten Nenner des Quotienten mit [mm] s=t^{2}x+x^{2}. [/mm]
Bilde dann den Differenzenquotienten (heisst: leite deine Funktion s nach x ab) [mm] \bruch{ds}{dx}=2x [/mm] .

Stelle nun nach dx um und du erhälst [mm] dx=\bruch{ds}{2x} [/mm] .

Das ganze und deinen Substitutionsterm [mm] s=t^{2}x+x^{2} [/mm] setzt du nun in dein Integral ein:
[mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{2x}{s}*\bruch{ds}{2x}} [/mm] --> Die Grenzen hab ich nicht verändert, da wir eh nachdem wir die Stammfunktion ermittelt haben wieder resubstituieren werden.

Wie du siehst können wir nun 2x im Zähler und Nenner kürzen und erhalten somit das einfachere Integral:
[mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{s} ds} [/mm]

Wenden wir das Potnezgesetz [mm] \bruch{1}{x}=x^{-1} [/mm] auf unser Integral an so können wir es umformen zu:

[mm] \integral_{0}^{z}{s^{-1} ds} [/mm]

Nun die Stammfuntion ermitteln:

[mm] \integral_{0}^{z}{s^{-1} ds}=[ln(s)]_{0}^{z} [/mm]
(die Integrationskonstant kann man sich sparen, da es sich um ein bestimmtes Integral - Integrationsgrenzen sind bekannt - handelt)

Nun resubstituieren (wir tauschen s wieder zu [mm] t^{2}x+x^{2} [/mm] aus) wir wieder und erhalten:
[mm] \blue{A(x)=[ln(t^{2}x+x^{2})]_0^{z}} [/mm]

An dieser Stelle 'darfst' du nun weiter machen mit deiner Aufgabe. ;-)

Noch ein Tipp:
Beachte, daß der ln(0) nicht definiert ist. Möglicherweise schneiden sich alle Funktionen [mm] f_{t} [/mm] im ersten Quadranten im selben Punkt. Diesen müsstest du dann vorher noch ermitteln um die untere Integrationsgrenze zu korrigieren.

>  Weiter weiß ich leder nicht :-(
>  
> Wäre dankbar für n paar tips...
>  
> Daniel
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Viel Erfolg.

Gruß,
Tommy

Bezug
        
Bezug
Flächenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Di 12.09.2006
Autor: Sigrid

Hallo Daniel,

> ft(x)= [mm]\bruch{2x}{t²+x²}[/mm]
>  Hab folgende aufgabe zu lösen.
>  eine funktion ft sei gegeben durch ft(x)=
> [mm]\bruch{2x}{t²+x²},[/mm]
>  
> Zwei Kurven Kt1 und Kt2 mit t1<t2 und die Gerade g:x=z,
> (z>0) begrenzen eine Fläche im 1. Feld. berechne ihren
> Inhalt A(z).
> Gegen welchen Grenzwert A* strebt A(z) für z--> +
> Unendlich? Wie groß ist A* bei den gekennzeichneten Kurven?
> Für zwei Kurven Kt1 und Kt2 sei A*=1. Welche Beziehung
> besteht dann zwischen t1 und t2?
>  
> Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
>  Kurven Kt1 und Kt2 bestimmen, also zur darstellung 2
> funktionen ins koordinatensystem gezeichnet, für einen
> festen wert t wobei t1<t2.
>  Wie aber soll nun die gerade da rein.
>  Danach muss man glaub ich mitm Integral die fläche
> ausrechnen.
>  Dazu Ft(x) bestimmen:  Ft(x)=  ft(x)=
> [mm]\bruch{x²}{t²+1/3x³}.[/mm] Ist das richtig?
>  Weiter weiß ich leder nicht :-(
>  

Zunächst mal hat dir Tommy ja schon gesagt, dass deine Stammfunktion falsch ist. Eine Stammfunktion zu

[mm] f_t [/mm] ist $ F(x) = [mm] ln(t^2 [/mm] + [mm] x^2) [/mm] $

Jetzt zu der gesuchten Fläche: Die Kurven [mm] K_t_1 [/mm] und [mm] K_t_2 [/mm] schneiden sich nur im Ursprung. Deshalb brauchst du noch die Gerade x=z (Parallele zur y-Achse) für die obere Grenze.

$ A = [mm] \integral_{0}^{z}{\bruch{2x}{t_1^2 + x^2} - \bruch{2x}{t_2^2 + x^2}dx} [/mm] $ = $ [mm] \left[\ln(t_1^2 + x^2) - \ln(t_2^2 + x^2) \right]_0^z [/mm] $ $ = [mm] \left[ \ln\bruch{t_1^2 + x^2}{t_2^2 + x^2} \right]_0^z [/mm] = [mm] \ln\bruch{t_1^2 + z^2}{t_2^2 + z^2} [/mm] - [mm] \ln\bruch{t_1^2}{t_2^2} [/mm] $

Von diesem Ausdruch musst du jetzt den Grenzwert für $ z [mm] \to \infty [/mm] $ berechnen.

Gruß
Sigrid

Bezug
                
Bezug
Flächenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 12.09.2006
Autor: VNV_Tommy

Hllo Sigrid

> Zunächst mal hat dir Tommy ja schon gesagt, dass deine
> Stammfunktion falsch ist. Eine Stammfunktion zu
>
> [mm]f_t[/mm] ist [mm]F(x) = ln(t^2 + x^2)[/mm]
>  
> Jetzt zu der gesuchten Fläche: Die Kurven [mm]K_t_1[/mm] und [mm]K_t_2[/mm]
> schneiden sich nur im Ursprung. Deshalb brauchst du noch
> die Gerade x=z [mm] (\red{Parallele} \red{zur} \red{x-Achse}) [/mm] für die obere
> Grenze.

Ich denke du meinst x=z ist eine Parallel zur y-Achse, oder?
  
Gruß,
Tommy

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de