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Forum "Integralrechnung" - Flächenberechnung
Flächenberechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Flächenberechnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Mo 09.03.2009
Autor: sharth

Aufgabe
Wie ist die Zahl a>0 zu wählen, damit der von den Kurven $f(x) = [mm] a^-2*(x^2+1), [/mm] y=0, x=0, x=a$ begrenzte Flächeninhalt möglichst klein wird?

Guten Abend zusammen,

es geht um die oben genannte Aufgabe. Ich verstehe schon die Aufgabenstellung nicht genau. Soll die angegebene Funktion von 0 bis a integriert werden. Also so:

[mm] \integral_{0}^{a}{a^-2*(x^2+1) dx} [/mm]

Da käme dann bei mir [mm] $A=\bruch{^1}{3}*a$ [/mm] heraus. Aber der Flächeninhalt soll ja möglichst klein werden!? Wie gesagt, die Aufgabenstellung verstehe ich nicht wirklich.
Wäre nett wenn jemand Licht ins Dunkel bringen könnte.

Gruß,

sharth

        
Bezug
Flächenberechnung: Stammfunktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 Mo 09.03.2009
Autor: Loddar

Hallo sharth!


Das Integral hast Du richtig aufgestellt. Wie lautet denn Deine entsprechende Stammfunktion? Und was ist mit dem Faktor [mm] $a^{-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2}$ [/mm] geschehen?

Ich erhalte hier (ohne Gewähr, also nachrechnen):  $A(a) \ = \ [mm] \bruch{a}{3}+\bruch{1}{a}$ [/mm]

Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung durchzuführen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Flächenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:00 Di 10.03.2009
Autor: sharth

Hallo Loddar,

> Das Integral hast Du richtig aufgestellt.

Dann habe ich die Aufgabe ja evtl. doch verstanden;-)

> Wie lautet denn Deine entsprechende Stammfunktion? Und was ist mit >dem Faktor [mm]a^{-2} \ = \ \bruch{1}{a^2}[/mm] geschehen?

Folgendes habe ich bisher berechnet:

[mm] $[a^{-2}*\bruch{1}{3}x^3+a^{-2}x]_{0}^{a} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{3}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{a}$ [/mm]  

> Ich erhalte hier (ohne Gewähr, also nachrehnen):  [mm]A(a) \ = \ \bruch{a}{3}+\bruch{1}{a}[/mm]

Okay, während der Eingabe habe ich meinen Fehler gefunden. Ich versuche nun den Extremwert zu berechenen und poste dann das Ergebnis


> Gruß
>  Loddar

Vielen Dank!

sharth


Bezug
                        
Bezug
Flächenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Di 10.03.2009
Autor: sharth

Hallo,

habe folgendes herausbekommen:

$f'(x) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{a^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*a^2 [/mm] = 1$
[mm] $a=\wurzel{3}$ [/mm]

Hoffe das ist soweit richtig.

MFG,
sharth

Bezug
                                
Bezug
Flächenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Di 10.03.2009
Autor: SLik1

bei quadratischen gleichungen immer auch die negative lösunge betrachten :)

aber sieht gut aus!

also prüfuen ob positiver/negativer wert ein minimum darstellt und fertig bist du :)
super!

Bezug
                                
Bezug
Flächenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Di 10.03.2009
Autor: reverend

Hallo sharth,

da scheint mir nur ein Schreibfehler vorzuliegen:

> [mm] f'(x)=\bruch{1}{3}-\bruch{1}{a^2}\quad \red{f'(x)=0\ \Rightarrow} \bruch{1}{3}*a^2=1 [/mm]
>  
> [mm]a=\wurzel{3}[/mm]
>  
> Hoffe das ist soweit richtig.
>
> MFG,
>  sharth

So ist es fast richtig:
beachte auch den Hinweis von SLik1 (positive/negative Lösung).

Grüße
reverend

Bezug
                                        
Bezug
Flächenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:13 Do 12.03.2009
Autor: sharth

Hallo,

habs verstanden. Vielen Dank für eure Hilfe.

Gruß,

sharth

Bezug
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