Flächenberechnung 2 < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils der Fläche z = xy der über dem Viertelkreis :
G = { (x,y) : x [mm] \ge [/mm] 0 , y [mm] \ge [/mm] 0 , [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1 } |
Hallo Liebe Community,
ich stehe wie immer auf dem Schlauch bei einer Flächenberechnung.
Ich habe versucht das zu skizzieren und mein Bild sah dann so auß, dass ich einen Viertelkreis gezeichnet habe und eine Hyberbel.
Als Hinweis ist gegeben, Polarkoordinaten zu verwenden.
Da der Radius auf 1 beschränkt ist, habe ich gedacht, dass das meine obere Grenze ist. Außerdem haben wir einen Viertelkreis also bewegt sich unser Winkel:
0 [mm] \le \mu \le \pi/2 [/mm] oder?
Die linke Grenze wäre doch der Schnittpunkt zwischen der Hyperbel und dem Viertelkreis oder nicht?
1/x = [mm] \wurzel{ 1 - x^2} [/mm] ist es sicherlich nicht oder?
Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Viele Grüße
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Quinix,
> Berechnen Sie den Flächeninhalt des Teils der Fläche z =
> xy der über dem Viertelkreis :
> G = { (x,y) : x [mm]\ge[/mm] 0 , y [mm]\ge[/mm] 0 , [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 }
> Hallo Liebe Community,
> ich stehe wie immer auf dem Schlauch bei einer
> Flächenberechnung.
>
> Ich habe versucht das zu skizzieren und mein Bild sah dann
> so auß, dass ich einen Viertelkreis gezeichnet habe und
> eine Hyberbel.
> Als Hinweis ist gegeben, Polarkoordinaten zu verwenden.
>
> Da der Radius auf 1 beschränkt ist, habe ich gedacht, dass
> das meine obere Grenze ist. Außerdem haben wir einen
> Viertelkreis also bewegt sich unser Winkel:
> 0 [mm]\le \mu \le \pi/2[/mm] oder?
> Die linke Grenze wäre doch der Schnittpunkt zwischen der
> Hyperbel und dem Viertelkreis oder nicht?
>
> 1/x = [mm]\wurzel{ 1 - x^2}[/mm] ist es sicherlich nicht oder?
>
> Hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
>
x und y sind doch durch G schon festgelegt.
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Aber es kann doch nicht so leicht sein und sagen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{x*y dx dy}}
[/mm]
Oder?
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Hallo Quinix,
> Aber es kann doch nicht so leicht sein und sagen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{x*y dx dy}}[/mm]
>
> Oder?
Das kann auch nicht sein.
Um die Grenzen zu bestimmen benötigst Du ja G.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Ok also Mein Gebiet G ist ja beschränkt durch den Kreis : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le [/mm] 1
Kann ich dann einfach sagen, dass meine Grenzen so sind:
0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{ 1 - x^2}
[/mm]
Somit:
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{ 1 - x^2}}{\integral_{0}^{1}{xy } dxdy}
[/mm]
Gruß
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Hallo Quinix,
> Ok also Mein Gebiet G ist ja beschränkt durch den Kreis :
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2 \le[/mm] 1
>
> Kann ich dann einfach sagen, dass meine Grenzen so sind:
>
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
> 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \wurzel{ 1 - x^2}[/mm]
>
> Somit:
>
> [mm]\integral_{0}^{\wurzel{ 1 - x^2}}{\integral_{0}^{1}{xy } dxdy}[/mm]
>
Fast korrekt:
[mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{xy \ dy}\ dx}[/mm]
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Quinix |
Danke für die Hilfe,
aber wieso spielt es in diesem Fall eine Rolle, ob ich zuerst nach y und dann x integriere?
Gruß
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Hallo Quinix,
-> Danke für die Hilfe,
> aber wieso spielt es in diesem Fall eine Rolle, ob ich
> zuerst nach y und dann x integriere?
>
Weil die Grenzen für y von x abhängen.
> Gruß
Gruss
MathePower
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