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Hallo liebe Forum-Freunde
Leider komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
Aufgabe:
Zwischen dem Graphen der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{a}x^3+a^2 [/mm] (a>0) und der x-Achse liegt über dem Intervall [0;1] eine Fläche.
a) Fertigen Sie für a=1 eine Skizze an.Berechnen Sie den Inhalt der Fläche a=1.
b)Für welchen Wert von a wird der Inhalt der Fläche minimal?
Liederr weiß ich überhaupt nicht wie ich vorgehen soll.Ich würde mich über eure Hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Sa 06.12.2008 | | Autor: | tomekk |
Hallo,
zu Teil a)
setze a=1 in deine Gleichung ein, dann bekommst du eine Funktion 3. Grades, die um 1 an der y-Achse verschoben ist. Somit kannst du sie direkt zeichnen oder du machst dir eine Wertetabelle.
Um die Fläche auszurechnen musst du das Integral über deinem Intervall (0,1) bilden, das mit a=1 folgendermaßen aussehen müsste:
[mm] \integral_{0}^{1}{(x^3 + 1) dx}
[/mm]
Ausrechnen und du erhältst deine Fläche.
zu Teil b)
Nur soviel: Um etwas zu maximieren bzw. minimieren rechnet man immer mit der ersten und zweiten Ableitung!
Viel Erfolg! :)
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Erstmals vielen Dank für die angebotene Hilfe
Nur habe ich noch eine Vertsändnisfrage zur Teilaufgabe b):
Muss ich von der gegeben Funktion die erste und zweite Ableitung anwenden und damit rechnen,oder mit der Stammfunktion,also iintegrierten Funktion weiterrechnen?
Vielen dank im Voraus
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 07.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Berechne mal
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{a}x³+a²dx
[/mm]
[mm] =\left[\bruch{1}{4a}x^{4}+a²x\right]_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =\left[\bruch{1}{4a}1^{4}+a²*1\right]-\left[\bruch{1}{4a}0^{4}+a²*0\right]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4a}+a²
[/mm]
Also ist die Fläche mit der Funktion [mm] A(a)=\bruch{1}{4a}+a²
[/mm]
Und davon suchst du jetzt das Minimum, also A'(a)=0 und A''(a)>0
Marius
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Vielen Dank für die angebotene Hilfe
Mein Ergebnis lautet folgendermaßen:
[mm] A'(a)=-\bruch{1}{4a^2}+2a=0\Rightarrow =\bruch{1}{2}
[/mm]
A''(a)= [mm] \bruch{1}{8a^3}+2
[/mm]
[mm] A''(\bruch{1}{2})=3
[/mm]
Somit wird die Fläche für den Wert [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm] minimal.
Aber wie kriege ich denn den minimalen Flächeninhalt raus?
Würd mich über eure hilfe freuen.
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das muss heißen: $A''(a) \ = \ [mm] \bruch{1}{2*a^3}+2$
[/mm]