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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Christa,
> Wie ich diese e-Funktionen doch
> liebe...(ACHTUNG:Ironie!!)
> Also nu hab' ich diese Aufgabe:
Nun, sie sind ja auch leicht in der Handhabung (Achtung: keine Ironie  )
> Zeige, dass sich die Graphen der Funktionen f mit
> [mm]f(x)=e^{x+2}[/mm] und g mit [mm]g(x)=2e-e^{-x}[/mm] an der Stelle -1
> berühren. Zeichne beide Funktionsgraphen und berechne den
> Flächeninhalt von beiden Funktionsgraphen und der 2. Achse
> eingeschlossenen Fläche.
>
> Soweit die Aufgabe. Nu zu meinen Überlegungen.
>
> Ich habe mir gedacht dass man g und f gleichsetzt. Als
Das ist zwar möglich, sogar in diesem speziellen Fall (wie du gleich sehen wirst), aber trotzdem übertrieben.
Du sollte die beiden Funktionen ja nur auf einen gemeinsamen Punkt hin überprüfen, d.h. du mußt nur zeigen, dass die y-Koordinaten beider Funktionen an der Stelle -1 gleich sind:
$f(-1)=g(-1)$
[mm] $\gdw\ e^{-1+2}=2e-e^{-(-1)}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ e^1=2e-e^1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] e=e$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Also haben beide Graphen den Punkt $(-1|e)$ gemeinsam.
> Ergebniss müsste man ja dann -1 herausbekommen, weil sie
> sich da ja berühren(oder halt schneiden, was aber in diesem
> Fall nicht passiert).
Hier soll --denke ich-- schon Wert darauf gelegt werden, ob sich die Graphen berühren oder schneiden.
Das ist aber auch nicht schwierig zu unterscheiden.
Und zwar kann man da die Tangentensteigungen der beiden Funktionen an der betreffenden Stelle berechnen, am geschicktesten ist es, die Differenzfunktion $f(x)-g(x)$ auf ein relatives Extremum an der Stelle -1 zu untersuchen:
[mm] $f'(-1)-g'(-1)\stackrel{?}{=}0$ [/mm] und [mm] $f''(-1)-g''(-1)\stackrel{?}{\not=}0$
[/mm]
Falls diese Differenzfunktion ein relatives Extremum dort hat, dann berühren sich die Graphen (und schneiden sich nicht).
> Also hab' ich dann:
Diese Rechnung ist --wie oben vorgeschlagen-- überflüssig, ich korrigiere sie aber trotzdem 
> [mm]e^{x+2}=2e-e^{-x}[/mm]
> [mm]\bruch {e^{x+2}}{2e-e^{-x}}=1[/mm]
>
> [mm]e^{x+2}*(2e^{-1}-e^{x})=1[/mm]
Das ist nicht gut, denn [mm] $\bruch{1}{a+b}\not=\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}$ [/mm] (im allgemeinen).
Man könnte die oberste Gleichung aber so lösen:
[mm] $e^{x+2}=2e-e^{-x}$ |$*(e^x)
[/mm]
[mm] $\gdw\ e^{x+2}*e^x=2e*e^x-e^{-x}*e^x$
[/mm]
[mm] $\gdw\ e^{2x+2}=2e^{x+1}-1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ e^{2x+2}-2e^{x+1}+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \left( e^{x+1} \right)^2-2e^{x+1}+1=0$ [/mm] | substituiere [mm] $z:=e^{x+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ z^2-2z+1=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ (z-1)^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] z=1$ | resubstituieren
[mm] $\gdw\ e^{x+1}=1$ [/mm] | logarithmieren
[mm] $\gdw\ x+1=\ln [/mm] 1$
[mm] $\gdw\ [/mm] x+1=0$
[mm] $\gdw\ [/mm] x=-1$
> Ja und jetzt weiß ich nicht so recht weiter, oder hab' ich
> in meinem Ansatz schon nen Fehler. ICh müsste ja jetzt
> irgendwie die 2 da weg bekommen. Durch 2 Teilen bringt ja
> nicht viel denn dann habe ich vor dem anderen 1/2 stehen.
> Wie mach ich dass dann jetzt?!
Auch in deiner (fehlerhaften) letzten Gleichung wäre eine Substitution möglich (und nötig) gewesen.
> Wenn ich dass bewiesen habe, müsste ich zeichen. Das hab'
> ich och schon gemacht, kein Problem. Um Fläche zu berechnen
> habe ich mir gedacht, dass die 2.Ache ja die y-Achse ist.
> Also ist x=0
> Also muss ich:
>
> [mm]| \int_{-1}^{0} f(x)-g(x)\, dx |[/mm]
>
> Oder nicht?! ICh hab' das noch nicht gerechnet, aber stimmt
> der Ansatz?!
, perfekt!
Bin gespannt auf deine Ergebnisse.
Liebe Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 21.05.2004 | | Autor: | Christa |
Okö, ich seh das alles ein...mhhh hätte ich auch drauf kommen können....ich glaub ich denk bei e-Funktionen viel zu kompliziert weil ich denke das die e-Funktionen kompliziert sind, obwohl die ja gar nicht so kompliziert sind als ich sie für kompliziert halte, ist doch ganz einfach....
Also hier meine Lösungen zu der Flächenberechnung:
[mm]| \int_{-1}^{0} (e^{x+2}-2e+e^{-x})\, dx |[/mm]
[mm]=[e^{x+2}-2ex-e^{-x}[/mm] <--eine Stammfunktion
[mm]=| [(e²-1)-(e^1+2e-e^1)] |[/mm]
[mm]=| e²-1-2e |[/mm]
[mm]=| e²-2e-1 |[/mm]
[mm]= e²-2e-1 [/mm]
Und? Stimmt das?
Liebe Grüße
Ich-AG Christa
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